بردار پاره خطی با اندازه ی معین است که علاوه بر مقدار عددی، یک راستا و یک جهت مشخص را هم نشان می دهد؛ همین ویژگی، بردار را از یک عدد ساده متمایز می کند. سرعت، جابه جایی، شتاب و نیرو در فیزیک همگی کمیت برداری هستند، چون برای توصیف کامل آن ها فقط اندازه کافی نیست و جهت هم باید مشخص شود.
بردار یکه چیست
بردار یکه، برداری است که اندازه ی آن دقیقا برابر یک واحد است و تنها وظیفه ی آن نشان دادن یک جهت مشخص است، بدون آنکه اندازه ای غیر از یک به آن اضافه شود. طبق قرارداد سیستم بین المللی یکاها (SI)، بردار یکه در راستای محور طول ها (x) با نماد لاتین i، بردار یکه در راستای محور عرض ها (y) با نماد لاتین j، و در فضای سه بعدی بردار یکه در راستای محور ارتفاع (z) با نماد لاتین k نشان داده می شود. هر بردار دیگری در صفحه یا فضا را می توان بر حسب همین بردارهای یکه ی پایه نوشت؛ برای مثال بردار v با مؤلفه های x و y، به صورت v برابر با x ضرب در i به علاوه ی y ضرب در j نوشته می شود.
فرمول محاسبه بردار یکه از روی یک بردار دلخواه
برای پیدا کردن بردار یکه ی هم راستا با یک بردار دلخواه، ابتدا باید اندازه ی همان بردار محاسبه شود و سپس هر یک از مؤلفه های بردار بر همین اندازه تقسیم شوند؛ به بیان دیگر، بردار یکه از تقسیم خود بردار بر اندازه ی آن به دست می آید. اگر بردار v دارای مؤلفه های x و y باشد، اندازه ی آن طبق رابطه ی فیثاغورث برابر است با ریشه ی دوم مجموع مربع x و مربع y، و بردار یکه ی آن برابر است با حاصل تقسیم x بر همین اندازه ضرب در i، به علاوه ی حاصل تقسیم y بر همین اندازه ضرب در j.
برای مثال، بردار v را با مؤلفه ی 3 در راستای i و مؤلفه ی 4 در راستای j در نظر بگیرید. اندازه ی این بردار برابر است با ریشه ی دوم حاصل جمع 9 و 16، یعنی ریشه ی دوم 25 که می شود 5. بردار یکه ی هم راستا با v از تقسیم هر مؤلفه بر همین عدد 5 به دست می آید: سه پنجم در راستای i به علاوه ی چهار پنجم در راستای j. اندازه ی همین بردار یکه ی به دست آمده را هم می توان با همان رابطه ی فیثاغورث بررسی کرد: ریشه ی دوم حاصل جمع مربع سه پنجم و مربع چهار پنجم، دقیقا برابر یک می شود، که همان ویژگی اصلی هر بردار یکه است.
اشتباه رایج در محاسبه بردار یکه
رایج ترین اشتباه داوطلبان در این مبحث، خلط کردن بردار یکه ی هم راستا با یک بردار مشخص، با بردارهای یکه ی پایه ی i، j و k است. بردارهای i، j و k ثابت اند و همیشه در راستای محورهای مختصات قرار دارند، اما بردار یکه ی متناظر با یک بردار خاص، بر حسب همین i و j و k نوشته می شود و راستای آن به مؤلفه های همان بردار بستگی دارد. اشتباه دیگر، فراموش کردن مرحله ی تقسیم بر اندازه است؛ نوشتن جهت درست بردار بدون تقسیم واقعی مؤلفه ها بر اندازه، یک بردار یکه ی معتبر نمی سازد، چون اندازه ی نهایی آن یک نخواهد شد.
کاربرد بردار یکه در فیزیک و ریاضی کنکور
در فیزیک کنکور، بردار یکه بیشتر برای تجزیه ی یک نیرو، سرعت یا جابه جایی به مؤلفه های افقی و عمودی به کار می رود؛ وقتی زاویه ی یک بردار نسبت به محور افقی مشخص باشد، مؤلفه های آن با استفاده از سینوس و کسینوس همان زاویه به دست می آید و نتیجه بر حسب i و j نوشته می شود. در ریاضی، بردار یکه در مبحث هندسه تحلیلی و عملیات برداری مانند ضرب داخلی و ضرب خارجی کاربرد دارد؛ در پایه های بالاتر ریاضی، وقتی مؤلفه ی سوم بردار در راستای k هم به بحث اضافه می شود، همین رابطه ی تقسیم بر اندازه بدون تغییر در فضای سه بعدی هم صادق است.