دستگاه مختصات و هندسه تحلیلی

از ریاضی سال های اول دبستان، همیشه تلاش شده برای اعداد یک نمود عینی و قابل مشاهده ساخته شود. همان تلاشی که از دبستان برای عینی کردن اعداد شروع شده، در واقع همان کاری است که ریاضیدانان سال ها روی آن کار کرده اند: تعریف دستگاه هایی برای نمایش اعداد و مکان هندسی نقطه ها.

نمایش عدد بر روی محور یک بعدی

روشی که در اول دبستان برای نمایش اعداد آموزش داده می شود، همان محور مختصات یک بعدی است که در ریاضی کنکور هم کاربرد مستقیم دارد: نمایش مختصات یک عدد روی طول یک خط.

در مبحث تعیین علامت و حل نامعادله، برای اشتراک یا اجتماع گرفتن از بازه هایی که به دست می آید، همین محور یک بعدی به کار می آید. برای مثال اگر جواب یک نامعادله، بازه ای از منفی بی نهایت تا 2 باشد و جواب نامعادله دیگر، بازه ای از 0 تا بی نهایت باشد، با رسم هر دو بازه روی یک محور و بررسی همپوشانی آن ها، می توان اشتراک دو بازه (که در این مثال بازه 0 تا 2 خواهد بود) را به سادگی پیدا کرد.

محورهای مختصات دکارتی (دو بعدی)

محورهای مختصات دکارتی، یا محورهای مختصاتی کارتزین، مهم ترین ابزار نمایش زوج های مرتب، یعنی مختصات نقطه ها در یک صفحه، هستند. تمام نمودارهای توابع در همین صفحه رسم می شوند و علوم مهندسی وابستگی زیادی به همین دستگاه مختصات دارد.

در ویدیوی این جلسه فقط درباره نقطه و خط صحبت می شود؛ رسم و بررسی منحنی ها، یعنی نمودار توابع، در فصل تابع دنبال خواهد شد. عنوان کتاب درسی برای این فصل، هندسه تحلیلی، عنوان درستی است، اما باید توجه داشت که هندسه تحلیلی به عنوان یک شاخه ریاضی، بسیار گسترده تر از حد نقطه و خطی است که در همین جلسه بررسی می شود. برای داوطلبان رشته ریاضی، مباحثی مانند بردار، ماتریس و دترمینان، و مقاطع مخروطی هم بخشی از همین حوزه هندسه تحلیلی هستند. دانش آموزان رشته ریاضی در درس فیزیک هم همواره با بردار سر و کار دارند.

فاصله دو نقطه از هم

طول پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می کند، فاصله بین آن دو نقطه است که از قضیه فیثاغورث به دست می آید: فاصله برابر است با رادیکال مجموع مربع تفاضل طول ها و مربع تفاضل عرض های دو نقطه. برای نمونه فاصله نقطه (1, 2) از نقطه (4, 6) برابر است با رادیکال (4 − 1)² + (6 − 2)²، یعنی رادیکال 9 + 16، که می شود رادیکال 25، یعنی 5. در به دست آوردن تعریف مکان های هندسی مثل دایره و بیضی، از همین فرمول بسیار استفاده می شود.

مختصات وسط پاره خط

طول وسط پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می کند، برابر است با میانگین طول آن دو نقطه، و عرض وسط همان پاره خط هم برابر است با میانگین عرض آن دو نقطه. برای نمونه وسط پاره خط بین نقطه (1, 2) و نقطه (3, 6)، نقطه ای است با طول برابر میانگین 1 و 3 (یعنی 2) و عرض برابر میانگین 2 و 6 (یعنی 4)، پس مختصات وسط پاره خط، نقطه (2, 4) است.

معادله خط

به فرمول ریاضی درجه یک که ورودی آن مختصات روی محور x را نشان دهد و خروجی آن مختصات روی محور y را نشان دهد، معادله خط می گویند. در فصل تابع، به خط، تابع خطی یا تابع درجه یک هم می گویند که دامنه اش تمام اعداد حقیقی است. شکل استاندارد معادله خط به صورت زیر است:

y = mx + h

شیب خط m

ضریب x در فرم استاندارد معادله خط، همان شیب خط است. اگر دو نقطه از خط مشخص باشند، تفاضل عرض هایشان بر تفاضل طول هایشان تقسیم می شود تا شیب خط به دست بیاید. شیب خط در واقع میزان تندی زاویه خط نسبت به محور x را نشان می دهد: هرچه شیب خط بیشتر باشد، زاویه ای که آن خط با محور x می سازد تندتر است. در فصل دایره مثلثاتی مشخص می شود که شیب خط، برابر با تانژانت زاویه ای است که آن خط با محور x می سازد.

عرض از مبدأ h

آن عدد ثابتی که در معادله استاندارد خط دیده می شود، عرض از مبدأ است، یعنی عرض نقطه برخورد خط با محور y. با داشتن شیب خط و عرض از مبدأ می توان معادله خط را نوشت. برای نمونه، خط عبوری از دو نقطه (1, 2) و (3, 6) بررسی می شود: شیب آن برابر است با تفاضل عرض ها (6 − 2) بر تفاضل طول ها (3 − 1)، یعنی 4 بر 2، که می شود 2. برای پیدا کردن h، مختصات یکی از نقاط، مثلا (1, 2)، در معادله y = 2x + h قرار داده می شود: 2 = 2×1 + h، که از آن h برابر صفر به دست می آید. پس معادله این خط برابر است با y = 2x.

معادله خط عمود

با داشتن دو نقطه از یک خط می توان شیب آن خط را به دست آورد و با در نظر گرفتن یکی از نقاط، معادله همان خط را نوشت. شیب خط عمود بر یک خط، قرینه و معکوس شیب همان خط است؛ یعنی اگر شیب یک خط برابر 2 باشد، شیب هر خط عمود بر آن برابر منفی یک دوم خواهد بود. سپس، برای نوشتن معادله کامل خط عمود، باید نقطه ای که این خط عمود از آن می گذرد را هم در معادله جای گذاری کرد. معادله خط عمود در بحث مشتق هم، به عنوان معادله خط عمود بر منحنی در یک نقطه، دوباره مطرح می شود.

معادله خط های خاص

چهار مدل معادله خط معروف وجود دارد که باید بدون نیاز به محاسبه شناخته شوند:

خط افقی

معادله این خط به شکل y = k است و شیب آن صفر است.

خط قائم

معادله این خط به شکل x = t است و شیب آن تعریف نشده است.

نیمساز ناحیه اول و سوم

معادله این خط y = x است که به آن تابع همانی هم می گویند و در فصل تابع وارون نقش کلیدی دارد. شیب این خط برابر 1 و عرض از مبدأ آن صفر است.

نیمساز ناحیه دوم و چهارم

معادله این خط y = −x است. شیب این خط برابر منفی 1 و عرض از مبدأ آن هم صفر است. این خطوط خاص در ریاضی کنکور بسیار پرتکرارند.

فاصله نقطه از خط

طول پاره خطی که از یک نقطه بر یک خط عمود می شود، فاصله آن نقطه از آن خط است. اگر معادله خط به فرم Ax + By + C = 0 نوشته شده باشد و مختصات نقطه (x0, y0) باشد، فاصله نقطه از خط برابر است با قدر مطلق Ax0 + By0 + C، تقسیم بر رادیکال A² + B². این فرمول یکی از پرکاربردترین فرمول های این فصل در تست های کنکور است.

وضعیت نسبی دو خط

دو خط در صفحه، به یکی از سه حالت زیر دیده می شوند:

1. متقاطع
2. موازی
3. منطبق

ساده ترین راه بررسی این سه حالت، مقایسه شیب و عرض از مبدأ دو خط است. اگر شیب دو خط مساوی نباشد، آن دو قطعا متقاطع اند. اگر شیب دو خط مساوی باشد، آن گاه در صورتی که عرض از مبدأ یکسانی هم داشته باشند منطبق هستند، و اگر عرض از مبدأ یکسانی نداشته باشند موازی هستند.

فاصله دو خط موازی

دو خط موازی همیشه فاصله ثابتی نسبت به هم دارند. اگر معادله دو خط موازی به شکل Ax + By + C1 = 0 و Ax + By + C2 = 0 نوشته شود (یعنی ضرایب x و y در هر دو یکسان باشند)، فاصله این دو خط برابر است با قدر مطلق تفاضل C1 و C2، تقسیم بر رادیکال A² + B².

سخن پایانی

این جلسه سه فرمول مهم دارد که باید حفظ شوند:

1. فرمول فاصله دو نقطه
2. فرمول فاصله نقطه از خط
3. فرمول فاصله دو خط موازی

در کنار این سه فرمول، باید مفهوم شیب خط، معادله خط و دستگاه مختصات کاملا جا افتاده باشد. بیشتر تست های این فصل، ترکیبی از چند مرحله هستند: مثلا ابتدا باید معادله یک خط نوشته شود و سپس فاصله نقطه ای از همان خط محاسبه شود. تمرین این فرمول ها در کنار هم، نه به صورت جدا و مجزا، بهترین آمادگی برای رویارویی با این نوع تست های چندمرحله ای در روز کنکور است.