نامعادله و تعیین علامت

در ریاضی همیشه با اعداد مشخص سر و کار نیست؛ در خیلی موارد باید با محدوده ای از اعداد حقیقی کار کرد. برای نمونه، عبارت اعداد بزرگتر از دو یا عبارت اعداد بین یک و دو، هر دو محدوده ای از اعداد را توصیف می کنند، نه یک عدد مشخص را. تعیین این محدوده ها همان حل نامعادله نام دارد.

مفهوم نامعادله

نامعادله ( Inequality ) یا نامساوی یا نابرابری یعنی به جای تعیین یک عدد مشخص ، محدوده ای از اعداد تعیین می شود .

برای نمونه، نامعادله ی x منهای سه بزرگتر از صفر، با حل ساده به x بزرگتر از سه می رسد؛ یعنی جواب این نامعادله، تک تک اعداد بزرگتر از سه است، نه یک عدد مشخص. این کار حاصل تعیین علامت است و پیش نیاز آن، تسلط کامل به مفهوم معادله است که در جلسه قبل بررسی شد.

در عبارات درجه یک، حل نامعادله کار ساده ای است؛ اما در معادلات با درجات بالاتر و در حالت کسری، رادیکالی، لگاریتمی، قدرمطلقی، براکتی و مثلثاتی، موضوع با روش تعیین علامت حل می شود که به طور کامل در ویدیوی همین جلسه توضیح داده شده است. یکی از دروازه های اصلی ورود به بحث تابع دقیقا همین مفهوم نامعادله است که در مطالعه توابع کاربرد مستقیم دارد.

روش تعیین علامت به این ترتیب انجام می شود: نخست عبارت به صورت ضرب چند جمله ی ساده تجزیه و ریشه های آن روی محور اعداد مشخص می شود؛ سپس علامت عبارت در بزرگ ترین بازه (سمت راست آخرین ریشه) با علامت ضریب بالاترین درجه یکی می شود؛ در نهایت، با عبور از هر ریشه از راست به چپ، علامت بر اساس نوع همان ریشه یا عوض می شود (ریشه ساده یا مکرر فرد) یا ثابت می ماند (ریشه مکرر زوج). برای عبارتی مانند (x منهای یک) ضرب در (x به علاوه دو)، علامت در بازه ی بزرگتر از یک مثبت است، در بازه ی بین منفی دو و یک منفی است و در بازه ی کوچکتر از منفی دو دوباره مثبت می شود.

در کتاب های ریاضی کنکور روش های زیادی برای حل نامعادله دیده می شود که بسیاری از آن ها گیج کننده هستند و کمک چندانی به حل سریع سوالات نمی کنند؛ روش تعیین علامت بر پایه ی نوع ریشه، که در ویدیوی همین جلسه توضیح داده شده، جایگزین ساده تر و سریع تر همه ی آن روش هاست.

نامعادله کسری

تعیین علامت عبارات کسری همچون عبارات کثیرالجمله انجام می شود، با این تفاوت که ریشه ی مخرج، تعریف نشده در نظر گرفته می شود، نه صفر؛ این نکته در جلسه قبلی درباره ی معادلات کسری هم مطرح شد. برای نامعادله ای که هم صورت و هم مخرج آن ریشه دارند، هر دو ریشه روی محور اعداد علامت گذاری می شوند، اما نقطه ی مربوط به ریشه ی مخرج همیشه از مجموعه جواب کنار گذاشته می شود، حتی اگر نامعادله از نوع بزرگتر مساوی یا کوچکتر مساوی باشد.

نامعادله رادیکالی

با رعایت شرط منفی نشدن زیر رادیکال با فرجه زوج، مابقی نامعادلات رادیکالی به راحتی با به توان رساندن طرفین حل می شوند. همان محدودیتی که در حل معادلات رادیکالی مشکل ایجاد می کرد، در نامعادله رادیکالی هم باید رعایت شود؛ یعنی جواب نهایی همیشه باید با شرط دامنه ی رادیکال تلفیق شود.

نامعادله قدرمطلقی

نامعادله قدرمطلقی یکی از پرتکرارترین نامعادلات کنکور است. نکته ی کلیدی آن این است که نامعادله ی قدر مطلق کوچکتر از یک عدد مثبت، به یک بازه ی متقارن حول صفر تبدیل می شود و نامعادله ی قدر مطلق بزرگتر از یک عدد مثبت، به اجتماع دو بازه در دو طرف تبدیل می شود؛ این تفاوت جهت، منبع اصلی خطای داوطلبان در این نوع سوال هاست. بحث کامل و مفاهیم گسترده ی قدر مطلق، که بیش از یک تست کنکور را مستقیم یا غیرمستقیم هدف قرار می دهد، در جلسه ی مستقل قدر مطلق بررسی می شود.

نامعادله براکتی

براکت یا جزء صحیح، همیشه یک عدد صحیح تحویل می دهد و همین ویژگی باعث می شود جواب نامعادله های براکتی هم به شکل بازه هایی با کران صحیح ظاهر شود. چون این مبحث مفاهیم گسترده ای در دل خودش دارد، به طور کامل و جداگانه در جلسه ی براکت یا جزء صحیح بررسی می شود.

نامعادله لگاریتمی و نمایی

نکته ای که نامعادله های لگاریتمی و نمایی را از بقیه متمایز می کند، نقش پایه است: وقتی پایه بزرگتر از یک باشد جهت نامعادله حفظ می شود و وقتی پایه بین صفر و یک باشد جهت نامعادله برعکس می شود. روش کامل حل معادله لگاریتمی و نامعادله های مربوط به آن، پس از آشنایی با مفهوم لگاریتم و تابع نمایی، به طور مفصل بررسی خواهد شد.

نامعادله مثلثاتی

نامعادله مثلثاتی با مشاهده ی دایره مثلثاتی و مشخص کردن کمان هایی که در آن ها شرط نامعادله برقرار است قابل حل است؛ روش دقیق آن در انتهای جلسه ی مربوط به حل معادله مثلثاتی بررسی خواهد شد.