قدر مطلق یا Absolute value عملگری است که اعداد مثبت را مثبت نگه می دارد، ولی اعداد منفی را مثبت می کند. در فصل تابع، قدر مطلق تحت عنوان تابع قدر مطلقی به شکل نموداری بررسی می شود، اما در این جلسه خواص جبری آن و روش کار با معادلات و نامعادلات قدر مطلقی بررسی می شود.
عبارت خارج شده از قدر مطلق همواره یک عبارت نامنفی است؛ به همین ترتیب، قدر مطلق ضرب دو عدد برابر است با ضرب قدر مطلق آن دو عدد. در سیستم اندازه گیری، قدرمطلق تفاضل دو نقطه، فاصله ی آن دو نقطه را نشان می دهد؛ برای نمونه قدر مطلق تفاضل اعداد دو و پنج، برابر سه است که همان فاصله ی این دو عدد روی محور است.
در معادله درجه دو بارها کاربرد قدرمطلق دیده شده است؛ در این جلسه قواعد و قوانین قدر مطلق به شکل اختصاصی بررسی می شود.
در ادامه می خوانید
قوانین قدر مطلق
قوانین قدر مطلق، همان طور که در تصویر پایین دیده می شود، ساده اند: قدر مطلق هر عدد همواره نامنفی است، قدر مطلق یک عدد و قرینه ی آن با هم برابرند، و قدر مطلق ضرب یا تقسیم دو عدد برابر است با ضرب یا تقسیم قدر مطلق آن دو عدد.
باید به خطاهای رایجی که در قدر مطلق رخ می دهد توجه کرد؛ چون خود قدر مطلق موضوع خاص و پیچیده ای نیست، اما خطاهایی که در آن رخ می دهد گاهی عجیب هستند، به خصوص که سر جلسه کنکور فضا متراکم تر است و احتمال خطا افزایش پیدا می کند.
این خطاها بیشتر در حل نامعادلات قدرمطلقی و توابع قدرمطلقی رخ می دهند تا در بقیه ی بخش های قدر مطلق.
تسلط بر رهایی از قدر مطلق
قدر مطلق به راحتی با جملات جبری دیگر وارد تعامل نمی شود، مگر این که از شر آن خلاص شویم. برای این کار، عبارت داخل قدر مطلق تعیین علامت می شود: در بازه هایی که عبارت مثبت یا صفر است، قدر مطلق همان عبارت است؛ در بازه هایی که عبارت منفی است، قدر مطلق برابر با قرینه ی همان عبارت می شود.
برای نمونه، در قدر مطلق (x منهای سه)، اگر x بزرگتر مساوی سه باشد، عبارت داخل قدر مطلق نامنفی است و قدر مطلق همان (x منهای سه) می ماند؛ اما اگر x کوچکتر از سه باشد، قدر مطلق برابر با قرینه ی آن، یعنی (سه منهای x) می شود. این همان روشی است که در معادلات رادیکالی هم بارها تجربه شده است.
معادله قدر مطلقی
روش حل معادلات قدر مطلقی، خلاصی از شر قدرمطلق است: نخست از شر قدر مطلق خلاص می شویم و سپس معادله را مانند یک معادله معمولی حل می کنیم. برای نمونه، در معادله ی قدر مطلق (x منهای سه) مساوی پنج، دو حالت وجود دارد: یا (x منهای سه) مساوی پنج که x مساوی هشت می دهد، یا (x منهای سه) مساوی منفی پنج که x مساوی منفی دو می دهد؛ هر دو جواب در این مثال قابل قبول هستند.
پس از حل، جواب ها حتما باید با شروطی که ابتدای کار برای تعیین علامت قدرمطلق ها در نظر گرفته شد سازگار باشند؛ این نکته در نامعادله های قدرمطلقی چند ضابطه ای اهمیت بیشتری پیدا می کند.
نامعادله قدرمطلقی
نامعادله قدر مطلقی یکی از معروف ترین نامعادلات است که طراح ریاضی کنکور هم به آن علاقه ی زیادی دارد. قاعده ی کلی آن به این صورت است: نامعادله ی قدر مطلق یک عبارت کوچکتر از یک عدد مثبت مانند a، به بازه ی متقارن بین منفی a و مثبت a تبدیل می شود؛ اما نامعادله ی قدر مطلق همان عبارت بزرگتر از a، به اجتماع دو بازه در دو طرف تبدیل می شود. برای نمونه، نامعادله ی قدر مطلق (x منهای دو) کوچکتر از سه، به نامعادله ی مضاعف منفی سه کوچکتر از (x منهای دو) کوچکتر از سه تبدیل می شود که جواب نهایی آن بازه ی بین منفی یک و پنج است.
باید این نامعادلات را چند ضابطه ای کرد و سپس جواب را با استفاده از ضوابط به دست آمده به دست آورد.
نامعادله های دوگانه قدر مطلقی
وقتی نامعادله ای بین دو عدد قرار دارد، یا نامعادله ای به صورت اجتماع دو نامعادله ی مختلف است، در واقع با یک نامعادله ی دوگانه مواجه هستیم که می توان آن را به صورت قدرمطلقی هم بازنویسی کرد؛ همان مثال بالا (نامعادله ی بین منفی سه و سه برای عبارت x منهای دو) دقیقا از همین نوع است. برای درک کامل این تبدیل، تسلط به قواعد نامعادله و تعیین علامت ضروری است.
رسم نمودار قدر مطلق
ریشه هر عبارت قدر مطلقی درجه یک، روی محور xها به صورت نوک تیز برخورد می کند؛ همان رفتاری که در جلسه ی حل معادله، زیر عنوان ریشه قدرمطلقی یا ریشه نوک تیز معرفی شد. در فصل تابع، این رفتار روی دستگاه مختصات با جزئیات بیشتری بررسی خواهد شد.
