الگو و دنباله و دنباله حسابی | تصاعد حسابی

مفهوم الگو

ذهن انسان تمایل زیادی به یافتن الگو دارد ، حتی در جاهایی که الگوی واقعی وجود ندارد ؛ نویسنده رولف دوبلی در کتاب هنر شفاف اندیشیدن این تمایل را با مثال هایی مانند دیدن شکل های آشنا در ابرها بررسی کرده است . همین توانایی الگویابی ، وقتی درست و روی داده های واقعی به کار برود ، ابزار قدرتمندی برای کشف رابطه های ریاضی است . وقتی چند عدد پشت سر هم دیده شوند که بر اساس یک قاعده مشخص کم یا زیاد ، یا ضرب و تقسیم شده باشند ، می توان آن رابطه را به شکل یک فرمول ریاضی نوشت .

دنباله فیبوناچی یکی از معروف ترین الگوهای ریاضی است که در زیبایی شناسی و طبیعت هم کاربرد گسترده ای دارد . قاعده این دنباله ساده است : هر عدد برابر است با مجموع دو عدد قبل از خودش .

{ ۱ ، ۱ ، ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۸ ، ۱۳ ، ۲۱ ، … }

مفهوم دنباله

دنباله عبارتی است که ورودی آن یک عدد طبیعی است و خروجی آن از یک فرمول ریاضی مشخص ، به نام جمله عمومی ، به دست می آید . دنباله ها بیانگر یک الگوی ریاضی هستند و بسیاری از فرایندهای محاسباتی در برنامه نویسی هم بر مبنای همین منطق دنباله ها تعریف می شوند .

انواع دنباله

دنباله ها انواع مختلفی دارند که تعداد اندکی از آن ها در دبیرستان و برای ریاضی کنکور بررسی می شود .

دنباله حسابی (دنباله خطی)

در این دنباله یک عدد ثابت پیوسته به جمله قبلی اضافه می شود ، مانند دنباله { ۱ ، ۳ ، ۵ ، ۷ ، ۹ ، … } که جمله اول آن ۱ است و هر بار عدد ۲ به جمله قبلی اضافه می شود . برای یافتن جمله عمومی این دنباله ، داشتن دو جمله از آن کافی است و در ادامه همین جلسه مفصل بررسی می شود .

دنباله درجه دو

برای یافتن جمله عمومی دنباله درجه دو ، باید سه جمله از آن مشخص باشد .

دنباله نمایی

برای یافتن جمله عمومی این دنباله هم داشتن دو جمله از آن کافی است . دنباله هندسی که در جلسه بعدی بررسی می شود ، یک نوع خاص از دنباله نمایی است .

دنباله متناوب

برای یافتن جمله عمومی دنباله متناوب باید سه جمله از آن مشخص باشد ، اما این نوع دنباله در سرفصل ریاضی کنکور جایی ندارد .

دنباله حسابی (تصاعد حسابی)

دنباله حسابی ، که در کتاب های قدیمی تر به آن تصاعد حسابی هم گفته می شد ، پرتکرارترین نوع دنباله در تست های کنکور است و با تحلیل و مثال بهتر از حفظ کردن فرمول یاد گرفته می شود .

قدر نسبت دنباله حسابی

به همان مقدار ثابتی که به هر جمله اضافه می شود تا جمله بعدی ساخته شود ، قدر نسبت دنباله حسابی می گویند و معمولا آن را با حرف d نشان می دهند .

جمله عمومی دنباله حسابی

با داشتن جمله اول و قدر نسبت دنباله حسابی می توان جمله عمومی آن را نوشت و هر جمله دلخواه را مستقیم محاسبه کرد . برای نمونه در دنباله ای با جمله اول ۳ و قدر نسبت ۴ ، جمله دهم برابر است با ۳ به علاوه ۹ ضرب در ۴ ، یعنی ۳۹ . تقریبا تمام تست های کنکور این مبحث از مسیر پیدا کردن جمله اول و قدر نسبت حل می شوند .

دنباله حسابی نزولی

وقتی قدر نسبت دنباله حسابی عددی منفی باشد ، این مقدار ثابت از هر جمله کم می شود و هر جمله از جمله قبلی خودش کوچکتر است . دنباله حسابی که قدر نسبت آن منفی باشد ، دنباله حسابی نزولی نام دارد .

واسطه حسابی و سه جمله متوالی

در یک دنباله حسابی ، هر جمله دقیقا میانگین جمله قبل و بعد خودش است ؛ به همین دلیل وقتی سه جمله متوالی از یک دنباله حسابی در اختیار باشد ، جمله وسط واسطه حسابی دو جمله کناری خواهد بود ، یعنی دو برابر جمله وسط برابر است با مجموع دو جمله کناری .

درج واسطه حسابی بین دو عدد

بین هر دو عدد دلخواه می توان چند واسطه حسابی درج کرد تا همراه آن دو عدد یک دنباله حسابی کامل تشکیل شود . عدد کوچکتر جمله اول در نظر گرفته می شود و عدد بزرگتر ، بر اساس تعداد واسطه هایی که باید درج شود ، جمله ای با اندیس مشخص خواهد بود ؛ سپس از رابطه جمله عمومی ، قدر نسبت به دست می آید . برای نمونه اگر قرار باشد بین ۲ و ۲۰ پنج واسطه حسابی درج شود ، عدد ۲ جمله اول و عدد ۲۰ جمله هفتم دنباله خواهد بود . از رابطه جمله عمومی ، شش برابر قدر نسبت برابر ۲۰ منهای ۲ ، یعنی ۱۸ ، خواهد بود ، پس قدر نسبت برابر ۳ می شود و پنج واسطه حسابی بین ۲ و ۲۰ عبارت اند از ۵ ، ۸ ، ۱۱ ، ۱۴ و ۱۷ .

مجموع جملات دنباله حسابی

مجموع جملات دنباله حسابی برای ریاضی تجربی از کتاب درسی حذف شده ، اما برای داوطلبان رشته ریاضی همچنان بخشی از سرفصل کنکور است . فرمول آن از میانگین جمله اول و جمله آخر ، ضرب در تعداد جمله ها به دست می آید : اگر جمله اول را a۱ ، جمله آخر را an و تعداد جمله ها را n بنامیم ، مجموع جملات برابر است با n ضرب در (a۱ + an) ، تقسیم بر ۲ . برای نمونه مجموع ده جمله اول دنباله { ۱ ، ۳ ، ۵ ، ۷ ، … } که جمله اول آن ۱ و جمله دهم آن ۱۹ است ، برابر می شود با ۱۰ ضرب در (۱ + ۱۹) تقسیم بر ۲ ، یعنی ۱۰۰ .