دنباله هندسی | تصاعد هندسی

جلسه ی قبل با مفهوم دنباله و دنباله ی حسابی یا تصاعد حسابی آشنا شدید و تمام تیپ های سوالات کنکور آن را درک کردید .

در این جلسه در مورد دنباله هندسی صحبت خواهیم کرد و تمام مدل های طرح تست کنکورش را بررسی می کنیم .

دنباله هندسی

دنباله ای که از جمله دوم به بعد در یک عدد ثابت مثل q ضرب می شود مانند مثال زیر :

{ ۲ ، ۶ ، ۱۸ ، ۵۴ ، … }

در دنباله ی هندسی که در بالا می بینید عدد ۲ جمله ی اول است و جملات بعدی آن دائم در عدد ۳ ضرب می شوند .

قدر نسبت دنباله هندسی

همانند دنباله حسابی ، دنباله هندسی دارای قدر نشبت است . در دنباله حسابی به عدد ثابتی که با جملات جمع می شد قدر نسبت می گفتیم و در دنباله هندسی به عددی که در جملات ضرب می شود و جمله ی بعدی را می سازد قدر نسبت دنباله ی هندسی می گوییم .

جمله عمومی دنباله هندسی

برای نوشتن جمله ی عمومی دنباله هندسی همانند دنباله حسابی کافیست جمله ی اول و قدر نسبت را داشته باشید و راستش را بخواهید تمام تست ها بدون هیچ نکته خاصی با بدست آوردن جمله ی اول و قدر نسبت حل می شوند .

بنابر تعریف تقسیم یک جمله از تصاعد هندسی بر جمله قبلش برابر با قدر نسبت آن دنباله هندسی خواهد بود .

واسطه هندسی

همانطور که در دنباله حسابی واسطه ی حشابی یا واسطه ی عددی داشتیم ، در دنباله هندسی واسطه ی هندسی داریم .

وقتی سه جمله متوالی از یک دنباله هندسی داشته باشیم ، جمله ی وسطی واسطه ی هندسی جمله های قبل و بعدش است .

فرمول آن را در تصویر زیر می بینید و کاربردش را به شکل کامل در ویدیو آموزش ریاضی کنکور این جلسه گفتم .

در واقع اگر ۳ جمله متوالی از دنباله هندسی را در نظر بگیریم ، حاصل ضرب جمله اول در جمله سوم برابر با جمله دوم به توان ۲ است .

سه جمله متوالی از دنباله هندسی

همانطور که در بالا شرح دادم رابطه ی بین ۳ جمله ی متوالی از دنباله هندسی را می توان این گونه در نظر گرفت که جمله ی وسطی در واقع واسطه ی هندسی جمله ی اول و سوم است .

دنباله هندسی نزولی

وقتی قدر نسبت دنباله هندسی عددی بین صفر تا ۱ باشد هر بار که در جمله ی قبلش ضرب می شود جمله ای کوچکتر می سازد .

دنباله هندسی که قدر نسبت آن عددی بین صفر تا یک است یک دنباله هندسی نزولی است .

درج واسطه هندسی

برای درک این موضوع باید جمله ی عمومی دنباله ی هندشی ملکه ی ذهنتان شده باشد .

مثلاً اگر بگوید بین ۲ و ۵۴ دو واسطه ی هندسی درج کنید ، عدد ۲ جمله اول بوده و عدد ۵۴ جمله چهارم است و بر این مبنا جمله اول و قدر نسبت را با استفاده از جمله ی عمومی بدست می آورید و دو جمله ی وسطی مشخص می شوند .

هیچ نکته ای هم در این رابطه وجود ندارد و تنها راهش همینی است که در ویدیو مفصل آن را توضیح می دهم .

ترکیب دنباله حسابی و هندسی

در برخی مسائل دنباله ها شما با ترکیب دنباله ی هندسی و دنباله حسابی مواجه هستید .

معمولاً به این شکل تست کنکور طرح می شود که ۳ جمله متوالی از دنباله هندسی تشکیل دنباله حسابی می دهند یا بالعکس سه جمله ی n ، m ، p از تصاعد حسابی تشکیل دنباله ی هندسی می دهند

در این حالت راه اصلی همانی است که در ویدیو می گوییم ، اما می توان یک نکته ساده را هم یاد گرفت .

مجموع جملات دنباله هندسی n ، m ، p از یک دنباله حسابی برابر با تفاضل اندیس های دو جمله بزرگ تر تقسیم بر تفاضل اندیس های دو جمله کوچکتر است .

متوجه نشدید ؟ حق دارید

این بخش رو به شکل کامل در ویدیو توضیح دادم و واقعاً نمی توان با نوشته های در سایت آن را بیان کرد .

مجموع جملات دنباله هندسی

مجموع جملات دنباله هندسی خوشبختانه همچون مجموع جملات دنباله حسابی از کتاب بچه های رشته ی تجربی حذف شده است اما برای بچه های رشته ریاضی آن را تدریس خواهم کرد .

حد مجموع

این بحث در مورد دنباله ی هندسی نزولی مطرح می شود و کلاً از کتب درسی حذف شده است .