دنباله هندسی یکی از دو نوع اصلی دنباله در ریاضی کنکور است و در کنار دنباله حسابی ، بیشتر تست های فصل دنباله ها را به خود اختصاص می دهد . تفاوت اصلی این دو دنباله در نوع تغییر بین جمله هاست : در دنباله حسابی یک عدد ثابت به هر جمله اضافه می شود ، اما در دنباله هندسی هر جمله در یک عدد ثابت ضرب می شود . همین تفاوت ساده ، رفتار دو دنباله و فرمول های مربوط به آن ها را کاملا از هم جدا می کند .
در ادامه می خوانید
تعریف دنباله هندسی و قدر نسبت
دنباله ای که هر جمله آن ، از جمله دوم به بعد ، از ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابت به دست بیاید ، دنباله هندسی نام دارد . برای نمونه در دنباله { ۲ ، ۶ ، ۱۸ ، ۵۴ ، … } جمله اول برابر ۲ است و هر جمله بعدی از ضرب جمله قبلی در عدد ۳ ساخته می شود . به همین عدد ثابت ، یعنی نسبت هر جمله به جمله ماقبل خودش ، قدر نسبت دنباله هندسی می گویند و معمولا آن را با حرف q نشان می دهند . برای پیدا کردن قدر نسبت هر دنباله هندسی ، کافی است یکی از جمله ها را بر جمله ماقبلش تقسیم کرد ؛ در مثال بالا ۶ تقسیم بر ۲ برابر ۳ است ، همان قدر نسبتی که با ادامه دنباله هم تایید می شود .
جمله عمومی دنباله هندسی
جمله عمومی دنباله هندسی رابطه ای است که با داشتن جمله اول و قدر نسبت ، مقدار هر جمله دلخواه از دنباله را مستقیم به دست می دهد . تقریبا تمام تست های کنکور این فصل با پیدا کردن همین دو مقدار ، یعنی جمله اول و قدر نسبت ، و جای گذاری آن ها در جمله عمومی حل می شوند . برای نمونه در همان دنباله { ۲ ، ۶ ، ۱۸ ، ۵۴ ، … } با جمله اول ۲ و قدر نسبت ۳ ، جمله دهم این دنباله برابر است با ۲ ضرب در ۳ به توان ۹ ، یعنی ۳۹۳۶۶ ؛ همین عدد بزرگ نشان می دهد که دنباله هندسی صعودی با قدر نسبت بزرگتر از یک ، بسیار سریع تر از دنباله حسابی رشد می کند .
واسطه هندسی و رابطه سه جمله متوالی
وقتی سه جمله متوالی از یک دنباله هندسی در اختیار باشد ، جمله وسط واسطه هندسی دو جمله کناری است ، یعنی حاصل ضرب جمله اول در جمله سوم ، برابر با مجذور جمله دوم است . برای نمونه در سه جمله متوالی ۴ ، ۸ و ۱۶ ، حاصل ضرب ۴ در ۱۶ برابر ۶۴ است که همان مجذور ۸ ، یعنی جمله وسط ، است . این رابطه یکی از پرکاربردترین ابزارها برای حل سریع تست هایی است که در آن ها فقط سه جمله متوالی از یک دنباله هندسی داده شده و یکی از آن ها مجهول است ، چون به جای نوشتن جمله عمومی کامل ، می توان مستقیم از همین رابطه ضرب استفاده کرد .
دنباله هندسی نزولی
وقتی قدر نسبت دنباله هندسی عددی بین صفر و یک باشد ، هر جمله از ضرب جمله قبلی در همین عدد کوچکتر از یک به دست می آید ، پس مقدار جمله ها پیوسته کوچکتر می شود . برای نمونه دنباله { ۸۰ ، ۴۰ ، ۲۰ ، ۱۰ ، … } با قدر نسبت یک دوم ، یک دنباله هندسی نزولی است . تشخیص نزولی یا صعودی بودن یک دنباله هندسی ، بدون محاسبه هیچ جمله ای ، فقط از روی علامت و اندازه قدر نسبت ممکن است .
درج واسطه هندسی بین دو عدد
درج واسطه هندسی یعنی بین دو عدد مشخص ، چند جمله ساخته شود که همراه آن دو عدد یک دنباله هندسی کامل و پیوسته را تشکیل بدهند . برای این کار عدد کوچکتر جمله اول در نظر گرفته می شود و عدد بزرگتر ، بسته به تعداد واسطه هایی که باید درج شود ، جمله ای با اندیس مشخص خواهد بود ؛ سپس با نوشتن جمله عمومی بین این دو جمله ، قدر نسبت به دست می آید . برای نمونه اگر قرار باشد بین ۲ و ۵۴ دو واسطه هندسی درج شود ، عدد ۲ جمله اول و عدد ۵۴ جمله چهارم دنباله خواهد بود . از رابطه جمله عمومی ، قدر نسبت به توان سه برابر ۵۴ تقسیم بر ۲ ، یعنی ۲۷ به دست می آید که ریشه سوم آن برابر ۳ است . با قدر نسبت ۳ ، دو واسطه هندسی بین ۲ و ۵۴ برابر ۶ و ۱۸ خواهند بود و دنباله کامل به صورت { ۲ ، ۶ ، ۱۸ ، ۵۴ } در می آید .
ترکیب دنباله حسابی و هندسی در یک تست
یکی از مدل های پرتکرار در تست های کنکور این فصل ، ترکیب دنباله حسابی و دنباله هندسی در یک سوال است : سه جمله متوالی از یک دنباله هندسی ، در کنار هم یک دنباله حسابی می سازند ، یا برعکس ، سه جمله متوالی از یک دنباله حسابی ، یک دنباله هندسی تشکیل می دهند . برای حل این نوع تست ، هر دو رابطه به طور همزمان نوشته می شود : رابطه واسطه حسابی ، یعنی دو برابر جمله وسط برابر با مجموع دو جمله کناری ، و رابطه واسطه هندسی ، یعنی مجذور جمله وسط برابر با حاصل ضرب دو جمله کناری ؛ از حل همزمان این دو معادله ، مجهول های مساله به دست می آید .
مجموع جملات دنباله هندسی و حد مجموع
مجموع جملات دنباله هندسی ، همچون مجموع جملات دنباله حسابی ، از کتاب درسی رشته تجربی حذف شده و فقط برای داوطلبان رشته ریاضی باقی مانده است . بحث حد مجموع نیز که مخصوص دنباله هندسی نزولی است و مجموع بی نهایت جمله یک دنباله هندسی نزولی را محاسبه می کند ، به طور کامل از کتاب های درسی حذف شده است .