مثلثات یکی از مباحثی است که در نگاه اول برای بسیاری از داوطلبان انتزاعی و بی ارتباط با هندسه به نظر می رسد ، در حالی که در واقع مستقیما از دل تشابه مثلث ها و قضیه فیثاغورث بیرون آمده است . درک درست همین ریشه هندسی ، پیش نیاز اصلی برای فهمیدن دایره مثلثاتی ، معادلات مثلثاتی و حتی بخشی از مبحث موج و نوسان فیزیک کنکور است که در جلسه های بعدی دنبال می شود .
در ادامه می خوانید
مفهوم زاویه
هر قطاعی که از محیط یک دایره جدا شود ، یک زاویه را می سازد . برای اندازه گیری این زاویه ها چند واحد مختلف تعریف شده که دو واحد درجه و رادیان ، واحدهای اصلی مورد استفاده در ریاضی کنکور هستند . دو واحد دیگر یعنی گراد و ساعت هم در کتاب های درسی قدیمی تر وجود داشتند ، اما دیگر بخشی از سرفصل کنکور نیستند .
درجه
اگر محیط یک دایره به ۳۶۰ قسمت مساوی تقسیم شود ، اندازه هر قسمت یک درجه نام دارد . زاویه یک دور کامل دایره برابر ۳۶۰ درجه است ، نیم دایره برابر ۱۸۰ درجه و ربع دایره برابر ۹۰ درجه .
رادیان
محیط یک دایره به شعاع واحد برابر ۲π است ، و از آنجا که این محیط معادل یک دور کامل ، یعنی ۳۶۰ درجه ، است ، رابطه ۲π برابر ۳۶۰ درجه به دست می آید . با ساده کردن این رابطه ، π برابر ۱۸۰ درجه خواهد بود . از همین یک رابطه می توان هر زاویه را بین دو واحد درجه و رادیان تبدیل کرد ؛ برای نمونه زاویه ۹۰ درجه ، که نصف ۱۸۰ درجه است ، برابر با π/۲ رادیان می شود ، و زاویه ۶۰ درجه که یک سوم ۱۸۰ درجه است ، برابر با π/۳ رادیان خواهد بود .
تشابه مثلث ها و قضیه تالس
طبق قضیه تالس ، اگر زاویه های داخلی دو مثلث با هم برابر باشند ، نسبت اضلاع نظیر به نظیر آن دو مثلث هم با هم برابر خواهد بود . به دو مثلثی که زاویه های داخلی یکسان دارند ، مثلث های متشابه گفته می شود . همین خاصیت ساده ، پایه اصلی تعریف نسبت های مثلثاتی است ، چون نشان می دهد نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه فقط به اندازه زاویه های آن بستگی دارد ، نه به اندازه واقعی اضلاعش .
قضیه فیثاغورث
قضیه فیثاغورث رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بیان می کند : مجموع مربع دو ضلع مجاور زاویه قائمه ، برابر است با مربع ضلع روبروی زاویه قائمه ، یعنی وتر . برای نمونه در مثلثی با اضلاع ۳ و ۴ که زاویه بین آن ها قائمه است ، وتر از رابطه رادیکال ۳ به توان ۲ به علاوه ۴ به توان ۲ به دست می آید ، یعنی رادیکال ۹ به علاوه ۱۶ که می شود رادیکال ۲۵ ، برابر ۵ . همین مثلث با اضلاع ۳ ، ۴ و ۵ یکی از پرتکرارترین مثلث های قائم الزاویه در تست های هندسه و مثلثات کنکور است .
پیدایش نسبت های مثلثاتی
وقتی یکی از زاویه های غیرقائمه یک مثلث قائم الزاویه معلوم باشد ، زاویه دیگر آن هم به طور خودکار معلوم می شود ، چون مجموع زاویه های هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است . طبق قضیه تالس ، نسبت اضلاع تمام مثلث های قائم الزاویه ای که یک زاویه مشترک برابر α دارند ، مقداری ثابت است ، مستقل از اندازه واقعی مثلث . به همین نسبت های ثابت ، نسبت های مثلثاتی گفته می شود و هرکدام نام مشخصی دارد .
sin سینوس
سینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع روبروی آن زاویه به وتر مثلث .
cos کسینوس
کسینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به وتر مثلث .
tan تانژانت
تانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع روبروی آن زاویه به ضلع مجاورش .
cot کتانژانت
کتانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به ضلع روبرویش ، یعنی دقیقا معکوس تانژانت همان زاویه .
برای نمونه در مثلث قائم الزاویه با اضلاع ۳ ، ۴ و وتر ۵ ، اگر α زاویه روبروی ضلع ۳ باشد ، سینوس α برابر سه پنجم ، کسینوس α برابر چهار پنجم و تانژانت α برابر سه چهارم خواهد بود . تسلط بر همین چهار نسبت ، پیش نیاز مستقیم فصل دایره مثلثاتی است که در جلسه بعدی دنبال می شود و همان جا مشخص می شود این نسبت ها برای زاویه های بزرگتر از ۹۰ درجه هم قابل تعریف اند ، نه فقط برای زاویه های داخل یک مثلث قائم الزاویه .
کاربرد نسبت های مثلثاتی
مهم ترین کاربرد این نسبت ها این است که با داشتن طول یک ضلع از مثلث قائم الزاویه و اندازه یکی از زاویه های غیرقائمه آن ، تمام مولفه های دیگر مثلث ، یعنی دو ضلع باقیمانده و زاویه سوم ، قابل محاسبه می شوند . همین خاصیت است که نسبت های مثلثاتی را از یک مبحث صرفا هندسی ، به ابزاری کاربردی در فیزیک ، نقشه برداری و مهندسی تبدیل کرده است .
