مفاهیم اولیه ی جبر در ریاضی کنکور

شروع آموزش ریاضی کنکور از مبحثی به این سادگی، برای خیلی از داوطلبان عجیب یا حتی کسل کننده به نظر می رسد، اما تجربه کلاس های آمادگی کنکور نشان می دهد که بیش از هفتاد درصد داوطلبان، دقیقا در همین مفاهیم ساده جبر دچار اشتباهات ریشه ای هستند.

این اشتباهات معمولا خودشان را در همین فصل نشان نمی دهند، بلکه وقتی داوطلب به مبحثی مثل مثلثات می رسد بروز می کنند. کسی که تعریف دقیق عبارت جبری و ترتیب عملگرها را کامل جا نینداخته باشد، در ساده کردن روابط جبری مثلثات هم دچار مشکل می شود، چون آن روابط چیزی جز همین عبارت های جبری با حرف های سینوس و کسینوس به جای x و y نیستند.

مفاهیم اولیه ی جبر

پیش از سراغ رفتن به فرمول ها که در اصطلاح جبر به آن ها عبارت جبری هم گفته می شود، باید سه سطح سازنده هر عبارت ریاضی دقیق شناخته شود.

پارامتر جبری

به هر حرفی که بتوان یک عدد را جای آن گذاشت، پارامتر جبری می گویند. مانند x. پارامتر می تواند نماینده هر عدد حقیقی، از یک عدد صحیح ساده تا یک عدد گنگ، باشد.

جمله جبری

حاصل ضرب چند پارامتر جبری، یا حاصل ضرب یک عدد ثابت در یک یا چند پارامتر، را جمله جبری می گویند. مانند xy، سه x به توان دو، و منفی چهار xy.

عبارت جبری

حاصل جمع چند جمله جبری با هم را عبارت جبری می گویند. مانند xy + az. عبارت xy + az یک عبارت دوجمله ای است، و عبارتی مانند 3x² − 5x + 7 یک عبارت سه جمله ای است.

یک مفهوم مهم دیگر که در همین سطح باید جا بیفتد، درجه یک جمله یا عبارت جبری است. درجه هر جمله برابر است با مجموع توان های پارامترهای آن. برای مثال درجه جمله 3x²y برابر با سه است، چون توان x برابر دو و توان y برابر یک است و مجموعشان می شود سه. درجه یک عبارت جبری هم برابر است با بزرگ ترین درجه در بین جمله های تشکیل دهنده آن. تمامی عملگرهای ریاضی طبق قواعد مشخصی بین پارامترهای جبری، جملات جبری و عبارات جبری کار می کنند که در ویدیوی این جلسه با مثال های متعدد بررسی شده است.

جملات جبری متشابه

دو جمله جبری وقتی متشابه هستند که پارامترهای یکسان با توان های یکسان داشته باشند. فقط جمله های متشابه را می توان با هم جمع یا تفریق کرد؛ در این حالت فقط ضریب ها با هم جمع می شوند و پارامتر و توان آن بدون تغییر باقی می ماند.

برای نمونه 3x² و 5x² متشابه اند و جمعشان 8x² می شود، اما 3x² و 5x متشابه نیستند، چون توان x در آن ها یکی نیست، و نمی توان آن ها را با هم جمع کرد. یک نمونه پرتکرار در تست های کنکور، ساده کردن عبارتی مانند 2x + 3y − 5x + 7y است. ابتدا جمله های متشابه، یعنی جمله های x با هم و جمله های y با هم، کنار هم گذاشته می شوند: (2x − 5x) + (3y + 7y)، و عبارت به شکل ساده شده منفی 3x + 10y در می آید. اشتباه رایج در این نوع تست ها این است که داوطلب همه جمله ها را بدون توجه به متشابه بودنشان با هم جمع می کند و به جوابی کاملا غلط می رسد.

ترتیب انجام عملگرها

ندانستن دقیق ترتیب انجام عملگرهای ریاضی یکی از ریشه ای ترین دلایل خراب شدن محاسبات در ریاضی کنکور است. اثر این ضعف فقط به همین فصل محدود نمی ماند؛ در فصل های تابع، حد و مشتق هم بارها محاسباتی پیش می آید که اگر ترتیب عملگرها در آن ها رعایت نشود، جواب کاملا غلط از آب در می آید. در محاسبات ریاضی و جبری، ترتیب زیر همیشه باید رعایت شود:

1. داخل پرانتز یا کروشه، از داخلی ترین سطح به بیرونی ترین سطح
2. توان و رادیکال
3. ضرب و تقسیم، از چپ به راست
4. جمع و تفریق، از چپ به راست

یک مثال ساده این موضوع را روشن می کند. در عبارت 2 + 3 × (4 − 1)²، ابتدا داخل پرانتز محاسبه می شود: 4 − 1 = 3. سپس نوبت توان است: 3² = 9. بعد ضرب: 3 × 9 = 27. و در آخر جمع: 27 + 2 = 29. اگر داوطلبی به اشتباه از چپ به راست و بدون توجه به تقدم عملگرها جلو برود، مثلا ابتدا 2 + 3 را حساب کند، به جوابی کاملا متفاوت و غلط می رسد. همین نوع خطا، در فصل های بعدی وقتی عبارت ها طولانی تر و پیچیده تر می شوند، به مراتب پرهزینه تر خواهد بود.

اعمال بین عبارات جبری

وقتی دو عبارت جبری که هر کدام داخل یک پرانتز نوشته شده اند در هم ضرب می شوند، باید هر جمله پرانتز اول را تک به تک در هر جمله پرانتز دوم ضرب کرد و همه حاصل ضرب ها را با هم جمع بست. این قاعده در واقع همان توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع است که دو بار پشت سر هم اعمال می شود و در مثال های ویدیوی این جلسه با جزئیات کامل حل شده است.

ضرب (x + 2) در (x + 3) نمونه روشنی از همین قاعده است. ابتدا x در هر دو جمله پرانتز دوم ضرب می شود: x در x می شود x²، و x در 3 می شود 3x. سپس 2 در هر دو جمله پرانتز دوم ضرب می شود: 2 در x می شود 2x، و 2 در 3 می شود 6. جمع همه این ها می شود x² + 3x + 2x + 6 که پس از جمع جمله های متشابه، به شکل ساده x² + 5x + 6 در می آید. در تصویر پایین نمونه ای دیگر از این نوع ضرب دیده می شود.

تسلط بر همین ضرب ساده، پیش نیاز مستقیم فصل بعدی یعنی اتحادهای جبری و تجزیه عبارات جبری است. اتحادها در واقع چند حالت خاص و پرتکرار از همین ضرب دو عبارت جبری هستند که به دلیل تکرار زیادشان در ریاضی کنکور، به صورت آماده حفظ می شوند. بدون درک کامل اعمال جبری همین جلسه، فصل تجزیه قابل فهم نخواهد بود.

اشتباهات رایج در جبر پایه

چند اشتباه در همین سطح پایه، آن قدر در بین داوطلبان تکرار می شود که طراح سوال های کنکور دقیقا روی همین اشتباهات، گزینه های تستی طراحی می کند. آشنایی با آن ها به هوشیاری بیشتر داوطلب در حل تست کمک می کند:

1. توزیع نادرست علامت منفی پشت پرانتز. عبارت منفی (a − b) اشتباها به منفی a منهای b ساده می شود، در حالی که جواب درست منفی a به علاوه b است؛ علامت منفی باید در تک تک جمله های داخل پرانتز ضرب شود.
2. باز نکردن کامل مربع دو جمله ای. عبارت (a + b)² اشتباها با a² + b² یکی گرفته می شود، در حالی که جمله وسط، یعنی 2ab، هم باید در جواب باشد: a² + 2ab + b².
3. ساده کردن اشتباه کسرها. در کسری که صورتش x + 2 و مخرجش x است، نمی توان x را از صورت و مخرج حذف کرد، چون x در صورت با جمع به کار رفته نه با ضرب. فقط جمله هایی که به صورت ضرب، یعنی فاکتور مشترک، در صورت و مخرج حضور دارند قابل حذف اند.
4. جابه جا کردن تقدم عملگرها، یعنی انجام جمع یا تفریق پیش از ضرب، تقسیم، توان یا رادیکال، که همان طور که در مثال بخش قبل دیده شد، جواب را کاملا عوض می کند.

تمام قواعدی که در این جلسه گفته شد، پایه مستقیم فصل اتحادهای جبری و تجزیه عبارات جبری است. بدون تسلط کامل بر پارامتر، جمله و عبارت جبری، ترتیب عملگرها و ضرب دو عبارت جبری، درک اتحادها و استفاده درست از آن ها در حل تست های کنکور تقریبا غیرممکن خواهد بود.