بیشتر سوالات کنکوری که از لگاریتم و عبارت نمایی طرح می شوند، به صورت معادله و نامعادله هستند. قواعد و قوانین لگاریتم که در جلسه قبل بررسی شدند، پیش نیاز اصلی این جلسه اند تا روش های حل معادله لگاریتمی و نمایی، و نامعادله لگاریتمی و نمایی، آموخته شوند.
در ادامه می خوانید
معادله لگاریتمی
برای حل معادله لگاریتمی باید یک تساوی وجود داشته باشد که دو طرف آن فقط لگاریتم در یک پایه یکسان باشند؛ سپس با حذف لگاریتم از دو طرف، معادله به یک معادله معمولی تبدیل و حل می شود. برای نمونه، در معادله ی لگاریتم در پایه دو از (x منهای یک) مساوی لگاریتم در پایه دو از پنج، با حذف لگاریتم دو طرف: x منهای یک مساوی پنج، یعنی x مساوی شش. چون x منهای یک در این جواب برابر پنج و مثبت است، شرط تعریف لگاریتم هم رعایت شده و جواب پذیرفته می شود.
در بسیاری از سوالات کنکور، قانون لگاریتم جمع هم وارد معادله می شود و همین جاست که شرط تعریف لگاریتم، که در جلسه قبل توضیح داده شد، واقعا اهمیت پیدا می کند. برای نمونه، در معادله ی لگاریتم در پایه دو از x به علاوه لگاریتم در پایه دو از (x منهای دو) مساوی سه، ابتدا با قانون جمع لگاریتم ها، دو طرف به صورت لگاریتم در پایه دو از x ضرب در (x منهای دو) مساوی سه نوشته می شود. با حذف لگاریتم: x ضرب در (x منهای دو) مساوی هشت، که پس از باز کردن به معادله ی x به توان دو منهای دو x منهای هشت مساوی صفر می رسد و دو ریشه ی چهار و منفی دو می دهد. برای قبول هر ریشه، باید هم x و هم (x منهای دو) در آن مثبت باشند: برای x مساوی چهار، هر دو عبارت مثبت اند و جواب قبول می شود؛ اما برای x مساوی منفی دو، خود x منفی است و شرط تعریف لگاریتم برقرار نیست، پس این ریشه باید حذف شود. بدون این چک نهایی، جواب معادله اشتباه گزارش می شود.
معادله نمایی
در معادله نمایی باید هر طرف تساوی فقط یک تابع نمایی با پایه های یکسان باشد؛ سپس با مساوی قرار دادن توان ها، معادله مثل معادلات معمولی حل می شود. برای نمونه، در معادله ی دو به توان x مساوی هشت، چون هشت برابر دو به توان سه است، دو طرف با پایه ی یکسان دو نوشته می شوند و از تساوی توان ها x مساوی سه به دست می آید.
نامعادله لگاریتمی
در نامعادله لگاریتمی، نقش پایه تعیین کننده است و دو حالت وجود دارد: وقتی پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، جهت نامعادله حفظ می شود؛ وقتی پایه بین صفر و یک باشد، جهت نامعادله برعکس می شود. برای نمونه، نامعادله ی لگاریتم در پایه دو از x بزرگتر از لگاریتم در پایه دو از سه (که پایه اش بزرگتر از یک است)، به نامعادله ی ساده ی x بزرگتر از سه تبدیل می شود، بدون تغییر جهت.
نامعادله لگاریتمی و نامعادله نمایی بحث ساده ای هستند که خیلی وقت ها بدون دلیل نادیده گرفته می شوند و کامل آموزش داده نمی شوند، همان طور که بحث هایی مانند برد تابع هم گاهی نادیده گرفته می شوند.
نامعادله نمایی
نامعادله نمایی هم دقیقا همین قاعده ی دوگانه را دارد: وقتی پایه بزرگتر از یک باشد جهت نامعادله حفظ و وقتی پایه بین صفر و یک باشد جهت آن برعکس می شود. برای نمونه، نامعادله ی دو به توان x کوچکتر از هشت، چون پایه دو بزرگتر از یک است، به نامعادله ی ساده ی x کوچکتر از سه تبدیل می شود. تسلط کامل به بحث نامعادله برای حل درست این نوع سوالات ضروری است.
کاربرد لگاریتم در زلزله
کتاب درسی یک فرمول برای تبدیل ریشتر، که یکی از واحدهای اندازه گیری قدرت زلزله است، به ارگ، که یکی دیگر از واحدهای اندازه گیری زلزله است، ارائه می دهد که باید حفظ شود، چون ممکن است در کنکور بیاید.
LogE = ۱۱/۸ + ۱/۵M
در این فرمول E مقدار ارگ است و M مقدار ریشتر زلزله. یک مثال از این کاربرد ساده ی لگاریتم در ویدیوی همین جلسه حل شده است.
کاربرد تابع نمایی در زیست شناسی
مثال دیگری که در کتاب درسی آمده، رشد باکتری اشریشیا کلی ( E.coli ) است که در ویدیوی همین جلسه حل شده است. رشد جمعیت این باکتری در شرایط مناسب، در هر نسل تقریبا دو برابر می شود؛ همین الگوی دو برابر شدن پیاپی، نمونه ی طبیعی یک رشد نمایی است و دلیل اصلی استفاده از تابع نمایی برای مدل کردن آن به همین جا برمی گردد. روش کار با این مدل باید درک شود، چون ممکن است در ریاضی کنکور از آن سوال طرح شود.