دایره مثلثاتی دایره ای به شعاع یک واحد است که مرکز آن روی مبدا محورهای مختصات قرار دارد . این دایره به عنوان یک مرجع استاندارد برای محاسبه نسبت های مثلثاتی هر زاویه دلخواه ، از جمله زاویه های بزرگتر از ۹۰ درجه که در یک مثلث قائم الزاویه معمولی قابل تعریف نیستند ، به کار می رود . تسلط بر دایره مثلثاتی ، مستقیما پیش نیاز حل معادلات مثلثاتی و رسم نمودار توابع مثلثاتی در فصل تابع است .
در ادامه می خوانید
ربع های دایره مثلثاتی
دایره مثلثاتی به مرکزیت مبدا محورهای مختصات رسم می شود ، پس دقیقا همان چهار ربعی را دارد که محورهای مختصات دارند . نام گذاری این ربع ها هم از همان نام گذاری ربع های محورهای مختصات پیروی می کند و جهت مثبت حرکت روی دایره مثلثاتی ، بر خلاف جهت عقربه های ساعت ، یعنی پادساعتگرد ، در نظر گرفته می شود .
نمایش سینوس ، کسینوس و تانژانت بر روی دایره مثلثاتی
نمایش سینوس
اگر انتهای کمان یک زاویه مانند α روی دایره مثلثاتی ، بر محور yها تصویر شود ، طول پاره خط بین مرکز دایره و همین نقطه تصویر ، برابر با سینوس زاویه α است . چون شعاع دایره برابر یک است ، مقدار سینوس همیشه عددی بین منفی یک و مثبت یک خواهد بود .
نمایش کسینوس
به همین ترتیب ، اگر انتهای کمان زاویه α روی محور xها تصویر شود ، طول پاره خط بین مرکز دایره و نقطه تصویر روی محور xها ، برابر با کسینوس زاویه α است . کسینوس هم مانند سینوس همیشه عددی بین منفی یک و مثبت یک است .
نمایش تانژانت
برای نمایش تانژانت ، یک خط موازی محور yها بر دایره مثلثاتی مماس می شود . اگر کمان زاویه تا برخورد با همین خط مماس ادامه پیدا کند ، طول پاره خط از مرکز دایره تا نقطه برخورد ، برابر با تانژانت زاویه α خواهد بود . بر خلاف سینوس و کسینوس ، تانژانت می تواند هر عددی از مجموعه اعداد حقیقی باشد و تنها در نقاطی که کسینوس برابر صفر است ، یعنی در ۹۰ و ۲۷۰ درجه ، تعریف نشده است .
افزودن مضارب زوج π به کمان
افزودن یک مضرب زوج π ، مانند ۲π یا ۴π ، به کمان یک زاویه ، معادل چرخیدن یک یا چند دور کامل روی دایره مثلثاتی است و نقطه انتهایی کمان را تغییر نمی دهد . به همین دلیل ، هر نسبت مثلثاتی که مضرب زوج π داخل کمانش دیده شود ، بدون تغییر مقدار ، از کمان حذف می شود .
زاویه های معروف ۰ ، π/۲ ، π ، ۳π/۲
زاویه های صفر ، ۹۰ ، ۱۸۰ و ۲۷۰ درجه ، که برابر با ۰ ، π/۲ ، π و ۳π/۲ رادیان هستند ، به عنوان زاویه های معروف شناخته می شوند و نسبت های مثلثاتی آن ها باید بدون نیاز به محاسبه ، فقط با نگاه به دایره مثلثاتی ، در ذهن حاضر باشد . تسلط بر مفهوم مثلثات که در جلسه پیش بررسی شد ، پیش نیاز مستقیم درک همین بخش است .
فرمول های اولیه مثلثاتی و تعیین علامت
با داشتن هر یک از چهار نسبت مثلثاتی یک زاویه ، بقیه نسبت ها هم از روی چند فرمول ساده قابل محاسبه اند : تانژانت برابر است با نسبت سینوس به کسینوس ، کتانژانت برابر است با نسبت کسینوس به سینوس ، و مجموع مجذور سینوس و مجذور کسینوس هر زاویه همیشه برابر یک است . پس از محاسبه اندازه عددی نسبت مورد نظر ، باید علامت مثبت یا منفی آن هم بر اساس ربعی که زاویه در آن قرار دارد تعیین شود : سینوس در ربع اول و دوم مثبت است ، کسینوس در ربع اول و چهارم مثبت است ، و تانژانت و کتانژانت در ربع اول و سوم مثبت هستند .
سینوس و کسینوس زاویه منفی
علامت منفی داخل کمان سینوس ، به بیرون کمان منتقل می شود :
sin(−α) = −sinα
اما علامت منفی داخل کمان کسینوس ، به طور کامل حذف می شود :
cos(−α) = cosα
تانژانت و کتانژانت هم مانند سینوس رفتار می کنند و علامت منفی داخل کمانشان به بیرون منتقل می شود :
tan(−α) = −tanα
cot(−α) = −cotα
افزودن مضارب فرد π به کمان
مضارب فرد π موجب تغییر علامت هم در سینوس و هم در کسینوس می شوند ، اما نوع نسبت را تغییر نمی دهند ؛ در مقابل ، مضارب فرد π هیچ تغییری در علامت تانژانت و کتانژانت ایجاد نمی کند :
sin(α±مضرب فرد π) = −sinα
cos(α±مضرب فرد π) = −cosα
tan(α±مضرب فرد π) = tanα
cot(α±مضرب فرد π) = cotα
این رفتار دقیقا روی دایره مثلثاتی قابل مشاهده است و تسلط بر آن ، شرط اصلی حل بدون خطای معادلات مثلثاتی در جلسه های بعدی است .
افزودن مضارب فرد π/۲ به کمان
مضرب فرد π/۲ دو تغییر همزمان در نسبت مثلثاتی ایجاد می کند : نخست باید علامت نسبت بر اساس ربعی که نتیجه نهایی در آن قرار می گیرد تعیین شود ، و دوم ، نوع نسبت هم عوض می شود ؛ سینوس به کسینوس و کسینوس به سینوس تبدیل می شود ، و به همین ترتیب تانژانت به کتانژانت و کتانژانت به تانژانت تبدیل می شود . برای نمونه sin(۹۰ + α) ، که در آن ۹۰ درجه همان π/۲ است ، برابر با cosα می شود نه sinα ، چون هم نوع نسبت عوض شده و هم علامت آن باید در ربعی که ۹۰ + α در آن قرار می گیرد بررسی شود .
سه زاویه معروف π/۴ ، π/۶ ، π/۳
زاویه های ۳۰ ، ۴۵ و ۶۰ درجه ، که برابر با π/۶ ، π/۴ و π/۳ رادیان هستند ، در هر یک از چهار ربع دایره مثلثاتی یک نماینده دارند . مقدار عددی سینوس ، کسینوس و تانژانت این نماینده ها در تمام ربع ها یکسان است و فقط علامت آن ها بر اساس ربع تغییر می کند . تسلط بر این سه زاویه ، برای تعیین فاز در مبحث موج و نوسان فیزیک کنکور هم مستقیما کاربرد دارد .
تانژانت زاویه ، شیب خط است
tanα برابر است با شیب خطی که با محور xها ، در جهت پادساعتگرد ، زاویه α می سازد . با استفاده از همین رابطه ، از روی شیب هر خط می توان زاویه ای که آن خط با محور xها می سازد را هم به دست آورد . این ارتباط بین تانژانت و شیب خط ، پیوند مستقیم بین فصل دایره مثلثاتی و فصل دستگاه مختصات و هندسه تحلیلی است .
