فرمول های مثلثات و اتحاد های مثلثاتی

بسیاری از فرمول های مثلثاتی ، فرمول های مستقل و از بر نیستند ، بلکه نتیجه مستقیم اتحادهای جبری و رابطه جمع دو زاویه هستند . با این حال ، چند فرمول پایه باید کاملا حفظ باشند ، چون بدون آن ها ساده کردن عبارت های مثلثاتی در تست های کنکور عملا ممکن نیست . خوشبختانه بخش زیادی از فرمول های مثلثاتی کتاب های قدیمی تر از سرفصل کنکور حذف شده و آنچه باقی مانده ، مجموعه ای نسبتا کوچک و قابل مدیریت از فرمول هاست .

فرمول های مثلثاتی پایه

مهم ترین رابطه پایه مثلثات ، که مستقیما از قضیه فیثاغورث روی دایره مثلثاتی به دست می آید ، رابطه زیر است :

sin²α + cos²α = ۱

از همین یک رابطه ، دو فرمول کاربردی دیگر هم به دست می آید :

tanα = sinα / cosα

cotα = cosα / sinα

کاربرد اصلی این فرمول ها در تست هایی است که یک نسبت مثلثاتی را می دهند و نسبت دیگری را می خواهند ؛ برای نمونه اگر سینوس α برابر سه پنجم و زاویه α در ربع اول باشد ، از همین رابطه کسینوس α برابر چهار پنجم به دست می آید ، و تانژانت α هم برابر سه چهارم خواهد بود .

فرمول های جمع و تفاضل دو زاویه

با داشتن نسبت های مثلثاتی دو زاویه مجزا ، مانند a و b ، می توان نسبت های مثلثاتی مجموع یا تفاضل آن دو زاویه را هم به دست آورد :

sin(a ± b) = sina cosb ± cosa sinb

cos(a ± b) = cosa cosb ∓ sina sinb

این فرمول ها پایه اصلی فرمول های زاویه دوبرابر هستند که در ادامه همین جلسه بررسی می شوند .

فرمول های مثلثاتی زاویه دوبرابر (۲α)

فرمول های زاویه دوبرابر ، از جای گذاری a و b هر دو برابر α در فرمول های جمع دو زاویه به دست می آیند و برای داوطلبان رشته ریاضی اهمیت بیشتری دارند ، چون در جلسه های بعدی مثلثات رشته ریاضی مفصل به کار می روند :

sin2α = ۲ sinα cosα

cos2α = cos²α − sin²α = ۱ − ۲sin²α = ۲cos²α − ۱

سه شکل نوشتن cos2α در واقع یک فرمول واحدند که فقط با جای گذاری رابطه پایه sin²α + cos²α = ۱ به سه شکل مختلف نوشته شده اند و بسته به داده های هر تست ، یکی از این سه شکل کاربرد بیشتری دارد . برای نمونه اگر کسینوس α برابر سه پنجم و α در ربع اول باشد ، کافی است از همان شکل دوم فرمول استفاده شود : cos2α برابر می شود با دو برابر مجذور سه پنجم منهای یک ، یعنی هجده بیست و پنجم منهای یک ، که نتیجه آن منفی هفت بیست و پنجم است . در این حالت اصلا نیازی به محاسبه سینوس α نیست ، و همین کاربرد ، دلیل اصلی اهمیت فرمول زاویه دوبرابر در تست های کنکور است .

فرمول های طلایی مثلثات

دو فرمول زیر که به فرمول های طلایی معروف اند ، نتیجه مستقیم دو شکل آخر فرمول cos2α هستند :

sin²α = (۱ − cos2α) / ۲

cos²α = (۱ + cos2α) / ۲

کاربرد اصلی این دو فرمول ، تبدیل توان دوم سینوس و کسینوس به کسینوس زاویه دوبرابر است ، کاری که به طور مشخص در رفع ابهام حدهایی از جنس صفر تقسیم بر صفر که شامل توان دوم سینوس یا کسینوس هستند به کار می آید و پیش تر ، پیش از حذف مبحث حد از کتاب درسی رشته تجربی ، یکی از کاربردهای اصلی همین دو فرمول بود . با ادامه همان مثال بخش قبل ، که در آن cos2α برابر منفی هفت بیست و پنجم به دست آمد ، فرمول طلایی sin²α نتیجه شانزده بیست و پنجم را می دهد ، همان مقداری که با محاسبه مستقیم سینوس α ، یعنی چهار پنجم ، هم تایید می شود .

یادگیری فرمول های این جلسه بدون تمرین حل تست کافی نیست ؛ چون در بیشتر تست های مثلثات کنکور ، عبارت داده شده ابتدا باید با همین فرمول ها ساده شود تا به یکی از حالت های قابل حل برسد . تسلط بر همین ساده سازی ، مستقیما پیش نیاز جلسه بعدی ، یعنی حل معادله مثلثاتی ، است .