حل معادله

معادله همان مفهومی است که در جلسه ی آشتی با ریاضی بررسی شد و در تاریخ ریاضیات باعث کشف انواع مجموعه ی اعداد شده است.

حل معادله مهم ترین مفهومی است که در دیدگاه نموداری بحث تابع کنکور به آن نیاز پیدا می شود، برای همین تسلط کامل به این جلسه پیش نیاز جدی مباحث بعدی ریاضی کنکور است.

مفهوم معادله

معادله برابری دو عبارت را بیان می کند و حل معادله عددی به دست می دهد که در صورت قرار دادن آن عدد در هر کدام از عبارات جواب یکسانی حاصل شود؛ به این اعداد که موجب برقرار شدن دو طرف معادله می شوند ریشه معادله یا جواب معادله می گویند .

برای مثال در معادله x منهای سه مساوی صفر، تنها عددی که با جای گذاری آن دو طرف تساوی برقرار می شود عدد سه است؛ به همین دلیل سه را ریشه یا جواب این معادله می نامند. همین منطق ساده، پایه ی حل تمام معادلات پیچیده تر کنکور است: هر عددی که در معادله جای گذاری شود و تساوی را درست کند، جزو مجموعه جواب است و هر عددی که تساوی را نقض کند، جزو جواب نیست.

یادگیری کامل مبحث معادله فقط با خواندن متن به دست نمی آید و دیدن فیلم آموزشی همین جلسه ضروری است، چون این جلسه پیش نیاز مهم دو جلسه ی بعدی درباره ی نامعادله محسوب می شود.

انواع ریشه معادله

ریشه ها به لحاظ نموداری شکل های مختلفی دارند که می توان روی محور مختصات آن ها را نمایش داد. شناخت درست نوع هر ریشه، بعدها در رسم نمودار و تعیین علامت عبارت های جبری کاربرد مستقیم پیدا می کند و در ادامه ی همین جلسات، با معادله لگاریتمی و معادله مثلثاتی نیز آشنایی حاصل می شود.

ریشه ساده

ریشه هایی که محور xها را قطع می کنند، حاصل مساوی صفر قرار دادن یک عبارت درجه یک هستند. برای نمونه در عبارت (x منهای دو) ضرب در (x به علاوه یک)، دو ریشه ی دو و منفی یک وجود دارد که هرکدام فقط یک بار تکرار شده اند؛ نمودار این عبارت درست در همین دو نقطه محور x را قطع می کند. در این جلسه ریشه معادلات کثیرالجمله بررسی می شود و در جلسه بعدی معادله کسری و رادیکالی مطرح خواهد شد.

ریشه مکرر مرتبه فرد ( ریشه مضاعف مرتبه فرد )

وقتی یک عبارت درجه یک داخل پرانتز به توان فرد برسد و مساوی صفر باشد، ریشه ی داخل پرانتز یک ریشه تکراری از مرتبه ی فرد است و به لحاظ نموداری، درست مانند ریشه ساده، محور xها را قطع می کند. برای مثال در (x منهای یک) به توان سه، ریشه یک با تکرار سه ظاهر می شود؛ اما چون سه عددی فرد است، رفتار نموداری همچنان عبور از محور است. در ریاضی کنکور، به ریشه های مکرر مرتبه فرد نیز ریشه ساده می گویند.

ریشه مکرر مرتبه زوج ( ریشه مضاعف مرتبه زوج )

زمانی که عبارت درجه یکی داخل پرانتز به توان عددی زوج برسد و آن پرانتز مساوی صفر باشد، ریشه ی داخل پرانتز یک ریشه ی تکراری مرتبه ی زوج است و به لحاظ نموداری فقط بر محور xها مماس می شود، بدون آن که محور را قطع کند. برای مثال در (x منهای دو) به توان دو، ریشه دو با تکرار زوج ظاهر می شود و نمودار در همان نقطه فقط لمس می کند و برمی گردد. در ریاضی کنکور، به این ریشه ها که فقط با محور xها تماس پیدا می کنند، ریشه ی مضاعف می گویند.

ریشه قدرمطلقی یا ریشه نوک تیز

اگر یک عبارت درجه یک داخل قدر مطلق برابر صفر قرار داده شود، ریشه ی آن به شکل نوک تیز به محور x برخورد می کند و دوباره به سمت بالا برمی گردد؛ برای نمونه قدر مطلق (x منهای یک)، در نقطه ی یک همین رفتار نوک تیز را نشان می دهد. جزئیات کامل تر قدر مطلق در جلسه ی جداگانه ای که به همین موضوع اختصاص دارد بررسی می شود.

روش مربع کامل کردن

مربع کامل کردن روش اصلی حل معادله درجه دو است و حاصل به کارگیری اتحاد مربع دوجمله ای به شمار می رود. برای نمونه در معادله x به توان دو به علاوه شش x به علاوه پنج مساوی صفر، با افزودن و کم کردن عدد نه (مجذور نصف ضریب x) عبارت به صورت (x به علاوه سه) به توان دو منهای چهار مساوی صفر بازنویسی می شود؛ از همین جا ریشه ها به سادگی به دست می آیند.

مربع کامل کردن را باید برای بحث مقاطع مخروطی هم بلد بود، چون همین روش برای پیدا کردن مختصات رأس سهمی در آن فصل هم به کار می رود.

روش دلتا در حل معادله درجه ۲

روش دلتا که برای حل معادله درجه دو استفاده می شود، در واقع از روی روش مربع کامل به دست آمده است. دلتا از توان دوم ضریب درجه یک منهای چهار برابر حاصل ضرب ضریب درجه دو در عدد ثابت محاسبه می شود و ریشه های معادله از تقسیم مجموع یا تفاضل قرینه ی ضریب درجه یک با رادیکال دلتا، بر دو برابر ضریب درجه دو، به دست می آیند.

برای معادله x به توان دو منهای پنج x به علاوه شش مساوی صفر، دلتا برابر با یک می شود و رادیکال آن هم یک است؛ بنابراین دو ریشه از تقسیم پنج به علاوه یا منهای یک بر دو به دست می آیند که برابرند با سه و دو. اثبات کامل این فرمول در ویدیوی همین جلسه آمده است.

رسم نمودار چند جمله ای ها

در فصل تابع کنکور، رسم انواع نمودار مورد نیاز است؛ اما پیش از ورود به بحث تابع، رسم نمودار عبارات کثیرالجمله باید آموخته شود، چون هم روشی ساده است و هم بینش عمیقی درباره ی دیدگاه نموداری معادله ایجاد می کند.

روش کار به این صورت است: نخست علامت ضریب بالاترین درجه (علامت a) تعیین می شود تا مشخص شود ترسیم از کدام سمت آغاز می شود؛ سپس هر ریشه بر اساس نوع خودش (ساده، مکرر فرد، مکرر زوج یا قدرمطلقی) در نمودار جای می گیرد. برای عبارتی مانند (x منهای یک) ضرب در (x به علاوه دو) به توان دو، چون ریشه یک ساده است نمودار از آن عبور می کند و چون ریشه منفی دو مکرر زوج است، نمودار فقط بر محور مماس می شود.

تعیین علامت چند جمله ای ها

وقتی رسم نموداری عبارت های جبری چند جمله ای آموخته شود، تعیین علامت آن ها هم به طور خودکار آموخته شده است و دیگر نیازی به روش قدیمی زیر هم نوشتن تعیین علامت پس از تجزیه ی عبارات جبری نیست.

با تشخیص نوع ریشه ی عبارت جبری مورد نظر، به راحتی می توان علامت آن را در هر بازه از اعداد حقیقی مشخص کرد: در عبور از یک ریشه ساده یا مکرر فرد، علامت عوض می شود؛ در عبور از یک ریشه مکرر زوج، علامت ثابت می ماند. برای همان عبارت (x منهای یک) ضرب در (x به علاوه دو) به توان دو، علامت فقط در عبور از ریشه یک تغییر می کند و در عبور از ریشه منفی دو بدون تغییر باقی می ماند.

این یک روش بسیار ساده و سریع برای تعیین علامت است که در ادامه ی همین سلسله جلسات، مبنای حل نامعادله و تعیین علامت خواهد بود.