روش دلتا برای حل معادله درجه دو در دو جلسه قبل معرفی شد، اما در این جلسه هم فرمول یادآوری می شود و هم رفتار نموداری معادله درجه دو بر اساس مقدار دلتا به طور کامل بررسی می شود.
در ادامه می خوانید
روش دلتا در حل معادله درجه دو
روش دلتا برای حل معادله درجه دو از روی روش مربع کامل کردن به دست می آید و روش اصلی حل معادله درجه دو است. دلتا برابر است با توان دوم ضریب درجه یک منهای چهار برابر حاصل ضرب ضریب درجه دو در عدد ثابت؛ ریشه های معادله هم از فرمول x مساوی با منهای ضریب درجه یک به علاوه یا منهای رادیکال دلتا، تقسیم بر دو برابر ضریب درجه دو، به دست می آیند.
برای مطالعه معادله درجه دو و رفتار نموداری آن، محاسبه ی دلتا ضروری است. برای نمونه، در معادله x به توان دو منهای پنج x به علاوه شش مساوی صفر، دلتا برابر با یک به دست می آید که رادیکال آن هم یک است؛ بنابراین دو ریشه از تقسیم پنج به علاوه یا منهای یک بر دو به دست می آیند که برابرند با سه و دو.
نمودار معادله درجه دو
نمودار عبارت درجه دو یک سهمی قائم است که در فصل مقاطع مخروطی به طور مفصل بررسی می شود؛ علاوه بر خود معادله درجه دو که بحث مهمی از ریاضی کنکور است، مبحث مقاطع مخروطی هم بحثی بسیار مهم در ریاضی به شمار می رود.
همان طور که در جلسه رسم نمودار کثیرالجمله گفته شد، علامت a، یعنی علامت ضریب بالاترین درجه در عبارت کثیرالجمله، اولین چیزی است که در رسم نمودار تعیین می شود تا مشخص شود ترسیم از کدام ربع محورهای مختصات آغاز می شود.
علامت a که در معادله درجه دو ضریب درجه دو است، اگر مثبت باشد تقعر نمودار این سهمی قائم به سمت بالاست و اگر منفی باشد تقعر نمودار به سمت پایین است. رفتار نموداری معادله درجه دو در ادامه، بر اساس همین علامت و مقدار دلتا بررسی می شود.
در فصل تابع کنکور، معادله درجه دو به شکل تابع درجه دو هم مطالعه می شود و درباره ی برد تابع درجه دو صحبت های مهمی مطرح خواهد شد.
وضعیت ریشه های معادله
معادله درجه دو سه حالت کلی زیر را دارد که با محاسبه دلتا می توان درباره ی هر یک از آن ها تصمیم گرفت.
دو ریشه متمایز
وقتی نمودار در دو نقطه محور xها را قطع کند، اصطلاحا گفته می شود معادله دو ریشه متمایز دارد. این حالتی است که دلتا در آن مقداری بیشتر از صفر است . ( ∆>۰ )
دو ریشه یکسان ( یک ریشه مضاعف )
در این حالت ریشه ی معادله مضاعف است و منحنی معادله درجه دو بر محور xها مماس می شود. در این حالت دلتا دقیقا مساوی صفر است . ( ∆=۰ )
ریشه ندارد
در این حالت معادله در هیچ نقطه ای محور x را قطع نمی کند. در این حالت دلتا مقداری کمتر از صفر است . ( ∆<۰ )
همان طور که مشاهده می شود، معادله درجه دو مبحثی مستقیم از بحث اتحادهای جبری است و بدون تسلط به اتحادها نمی توان آن را به خوبی یاد گرفت. در بسیاری از سوالات کنکور، حل معادله درجه دو به شدت با نامعادله گره می خورد، برای همین تسلط کامل به مفهوم نامعادله پیش نیاز جدی این بخش است.
روش دلتا پریم
روش دلتا پریم همان روش دلتاست، برای زمانی که b، یعنی ضریب درجه یک در معادله درجه دو، عددی زوج باشد. این فرمول برای ساده کردن محاسبات به کار می رود و با تقسیم کردن نصف ضریب درجه یک و کوچک تر کردن اعداد داخل رادیکال، سرعت حل مساله را بالا می برد.
یادگیری دلتا پریم اجباری نیست، اما برای سهولت در محاسبات توصیه می شود که آموخته شود، چون در بسیاری از سوالات کنکور که اعداد بزرگ تری دارند، محاسبات را به طور محسوسی کوتاه تر می کند.
معادله درجه دو بحثی نیست که فقط به تنهایی مطرح شود؛ در حل معادلات مثلثاتی به شکلی عجیب دیده می شود که گاهی معادله مثلثاتی با معادله درجه دو ترکیب می شود، و در موارد زیادی معادله درجه دو با معادله لگاریتمی هم ترکیب می شود. به همین دلیل تسلط کامل به همین جلسه، در فصل های بعدی ریاضی کنکور بارها به کار می آید.