فصل اتحادهای جبری احتمالا پرکاربردترین فصل کل ریاضی کنکور است. تقریبا در هر بحث ریاضی کنکور، از مثلثات و تابع تا هندسه و حد، ردپایی از همین اتحادها دیده می شود. پیش از یادگیری اتحادها، تسلط کامل بر مفاهیم اولیه جبر (پارامتر، جمله و عبارت جبری، و ترتیب عملگرها) ضروری است، چون هر اتحاد در واقع یک حالت خاص و پرتکرار از ضرب دو عبارت جبری در هم است.
در ادامه می خوانید
اتحادهای جبری
کتاب های درسی گاهی اتحادهای دیگری هم معرفی می کنند که کاربرد مستقیمی در تست های ریاضی کنکور ندارند. برای کنکور، تسلط کامل بر همین چند اتحاد اصلی که در ادامه این جلسه معرفی می شوند کفایت می کند.
اتحاد مربع دو جمله ای (اتحاد اول)
به این اتحاد، چون اولین اتحادی است که تدریس می شود، اتحاد اول هم می گویند.
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
رایج ترین اشتباه در این اتحاد، فراموش کردن جمله وسط است: عبارت (a + b)2 با a2 + b2 اشتباه گرفته می شود، در حالی که جمله 2ab هم باید در جواب باشد. برای مثال (x + 3)2 برابر است با x2 + 6x + 9، نه x2 + 9. وقتی یکی از دو جمله منفی باشد هم باید به علامت جمله وسط دقت کرد؛ برای نمونه (x − 3)2 برابر است با x2 − 6x + 9.
مربع کامل کردن
مهم تر از حفظ بودن اتحاد مربع دو جمله ای، مسلط بودن به روش مربع کامل کردن است. برای مثال در عبارت x2 + 6x، برای رساندن آن به شکل یک مربع کامل، نصف ضریب x به توان دو رسانده می شود (نصف 6 برابر 3 است و 32 برابر 9 است) و همان عدد یک بار اضافه و یک بار کم می شود: x2 + 6x + 9 − 9 که برابر است با (x + 3)2 − 9. همین تکنیک، پایه معادله درجه دو و روش دلتا است، چون فرمول دلتا در واقع چیزی جز حاصل مربع کامل کردن عبارت درجه دو نیست. در فصل مقاطع مخروطی، یعنی دایره، بیضی و سهمی، هم به شدت به همین مفهوم نیاز خواهد بود.
اتحاد مربع سه جمله ای
اتحاد مربع سه جمله ای کم تکرارتر از اتحاد اول است، اما گاهی در ریاضی کنکور می آید.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
الگوی این اتحاد ساده است: مربع هر جمله به علاوه دو برابر حاصل ضرب هر دو جمله با هم، برای همه جفت های ممکن. همین الگو را می توان برای مجموع بیش از سه جمله هم تعمیم داد.
اتحاد جمله مشترک
اتحاد جمله مشترک یک نتیجه گیری ساده از ضرب دو پرانتز است.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
این اتحاد در تجزیه عبارات جبری درجه دو نقش کلیدی دارد، چون همین رابطه را می شود برعکس هم خواند: برای تجزیه x2 + 5x + 6، باید دو عدد a و b پیدا شوند که مجموعشان 5 و حاصل ضربشان 6 باشد؛ این دو عدد 2 و 3 هستند، پس x2 + 5x + 6 برابر است با (x + 2)(x + 3). نزدیک به نیمی از معادلات درجه دو در ریاضی کنکور را می توان با همین تجزیه جمله مشترک و بدون نیاز به فرمول دلتا حل کرد، و بسیاری از روابط بین ریشه های معادله درجه دو (مجموع و حاصل ضرب ریشه ها) هم با درک همین اتحاد بسیار ساده تر می شوند. نکته ای که باید مراقبش بود، انتخاب درست علامت a و b متناسب با علامت جمله وسط و جمله ثابت عبارت است.
اتحاد مزدوج
اتحاد مزدوج حالت خاص و پرکاربردی از اتحاد جمله مشترک است که در آن جملات غیرمشترک، قرینه یکدیگرند.
a2 − b2= (a + b)(a − b)
در گویا کردن کسرهایی که مخرجشان رادیکالی است، و همچنین در حل معادله های رادیکالی، این اتحاد نقش بسیار کلیدی دارد. برای نمونه در کسری که مخرج آن رادیکال دو منهای یک است، اگر صورت و مخرج در رادیکال دو به علاوه یک ضرب شوند، طبق همین اتحاد مزدوج مخرج به دو منهای یک، یعنی یک، تبدیل می شود و مخرج کسر گویا می شود.
اتحاد مکعب دوجمله ای
اتحاد مکعب دوجمله ای به اندازه چهار اتحاد قبلی در ریاضی کنکور پرتکرار نیست، اما دفعاتی در کنکور آمده و احتمال طرح سوال از آن همیشه وجود دارد، پس باید مانند سایر اتحادهای این جلسه حفظ باشد.
(a ± b)3 = a3 ±b3 ± 3ab (a ± b)
نکته کمک کننده برای حفظ این اتحاد این است که سمت راست آن با a3 ± b3 شروع می شود و بعد عبارت 3ab در همان مجموع یا تفاضل (a ± b) ضرب شده به آن اضافه می شود؛ یعنی کافی است علامت اصلی اتحاد در دو جای مشخص تکرار شود.
اتحاد چاق و لاغر
اتحاد چاق و لاغر، که بعضی ها به آن اتحاد فیل و فنجان هم می گویند، در تجزیه عبارات جبری، در تمامی مباحث مثل تابع و حد، بسیار پرکاربرد است و یکی از اتحادهای مهم به حساب می آید.
a3 ± b3= (a ± b)(a2 + b2 ∓ ab)
در گویا کردن کسرهایی که مخرجشان رادیکال درجه سه است، این اتحاد کاربرد اصلی دارد. جالب اینجاست که در حل معادله مثلثاتی هم خیلی وقت ها باید از اتحاد چاق و لاغر استفاده کرد، که در جلسه مربوط به مثلثات مفصل تر در موردش صحبت می شود. نکته مهم این اتحاد، تفاوت علامت داخل پرانتز دوم با علامت اصلی اتحاد است: وقتی طرف چپ با علامت منفی (تفاضل مکعب ها) نوشته شده باشد، علامت جمله وسط داخل پرانتز دوم مثبت می شود، نه منفی؛ همین جابه جایی علامت، رایج ترین اشتباه داوطلبان در این اتحاد است.
همه اتحادهای جبری کنکور یکجا
جدول زیر همه اتحادهای بالا را یکجا و برای مرور سریع پیش از کنکور کنار هم آورده است.
| اتحاد مربع دو جمله ای |
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 |
| اتحاد مربع سه جمله ای |
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac |
| اتحاد جمله مشترک |
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab |
| اتحاد مزدوج |
a2 − b2= (a + b)(a − b) |
| اتحاد مکعب دو جمله ای |
(a ± b)3 = a3 ±b3 ± 3ab (a ± b) |
| اتحاد چاق و لاغر |
a3 ± b3= (a ± b)(a2 + b2 ∓ ab) |
تقسیم عبارات جبری
عبارات جبری را هم مانند اعداد می توان بر هم تقسیم کرد. این تقسیم دقیقا مانند تقسیم اعداد، مقسوم و مقسوم علیه دارد و حاصل آن یک خارج قسمت و یک باقیمانده است. تقسیم عبارات جبری تا جایی ادامه پیدا می کند که درجه باقیمانده، یک درجه از درجه مقسوم علیه کم تر شود.
برای نمونه، تقسیم x2 + 5x + 6 بر x + 2، خارج قسمت x + 3 و باقیمانده صفر به دست می دهد؛ یعنی همان تجزیه ای که در بخش اتحاد جمله مشترک بررسی شد، در واقع یک تقسیم دقیق و بدون باقیمانده است. در ابتدای فصل تابع، روش تستی به دست آوردن باقیمانده تقسیم چندجمله ای ها، بدون نیاز به انجام کامل تقسیم، معرفی خواهد شد.
جدول هرنر
جدول هرنر، یا جدول هورنر، یکی از راه های میان بر و تستی برای تقسیم عبارات جبری است و با اینکه یک نکته صرفا تستی به شمار می رود، به قدری پرکاربرد است که یادگیری آن ارزش زمان گذاشتن را دارد.
در جدول هرنر، مقسوم می تواند از هر درجه ای باشد، اما مقسوم علیه حتما باید درجه یک باشد. ابتدا ضرایب مقسوم به ترتیب توان از بزرگ به کوچک در یک ردیف نوشته می شوند (اگر جمله ای از یک توان در مقسوم وجود نداشته باشد، ضریب آن صفر در نظر گرفته می شود). ریشه مقسوم علیه، یعنی عددی که مقسوم علیه را صفر می کند، کنار این ردیف قرار می گیرد. ضریب اول بدون تغییر به ردیف پایین منتقل می شود؛ سپس هر عدد منتقل شده در آن ریشه ضرب و با ضریب بعدی جمع می شود و نتیجه به ردیف پایین منتقل می شود. این کار تا آخرین ضریب تکرار می شود. آخرین عدد به دست آمده، باقیمانده تقسیم است و بقیه اعداد ردیف پایین، ضرایب چندجمله ای خارج قسمت هستند که یک درجه از مقسوم کم تر است.
قانون اول و دوم دکارت
قانون اول: اگر مجموع تمام ضرایب یک چندجمله ای صفر باشد، آن چندجمله ای بر x − 1 بخش پذیر است، یا به بیان دیگر، عدد یک یکی از ریشه های آن چندجمله ای است. دلیل این قانون ساده است: وقتی به جای x عدد یک قرار داده شود، هر توانی از یک باز هم یک می شود، پس مقدار چندجمله ای در x برابر یک، دقیقا برابر با مجموع ضرایبش خواهد بود؛ اگر این مجموع صفر شود، یعنی چندجمله ای در x برابر یک، صفر می شود و یک ریشه آن است.
قانون دوم: اگر مجموع ضرایب جمله های با توان زوج، با مجموع ضرایب جمله های با توان فرد برابر باشد، آن چندجمله ای بر x + 1 بخش پذیر است، یا به بیان دیگر، عدد منفی یک یکی از ریشه های آن است. دلیل آن هم مشابه قانون اول است: با جای گذاری x برابر منفی یک، توان های زوج مقدار یک و توان های فرد مقدار منفی یک می گیرند؛ برابر بودن دو مجموع یاد شده، دقیقا معادل صفر شدن چندجمله ای در x برابر منفی یک است.
تجزیه عبارات جبری
در مواردی برای ساده کردن عبارات جبری، باید عبارت های بسط داده شده، با استفاده از اتحادهای جبری، به پرانتزهایی تبدیل شوند که در هم ضرب می شوند. در ریاضی کنکور، اصل کاربرد اتحادها دقیقا همین تجزیه عبارات جبری است. رفع ابهام حد یکی از کاربردهای مهم تجزیه عبارات جبری است؛ همچنین در حل معادله های کسری این موضوع بسیار حائز اهمیت است، به نحوی که حل معادلات کسری بدون تسلط به تجزیه عبارت جبری تقریبا غیرممکن است.
در اصول حل تست های کنکور، واژه شسنگ که مخفف چهار سوال زیر است کاربرد زیادی دارد:
- شبیه این مساله قبلا دیده شده است؟
- آیا عبارت ساده می شود؟
- نمودارش آشناست؟
- گزینه های داخل تست کمک می کنند؟
همان طور که دیده می شود، ساده کردن بخش مهمی از فرآیند دگرگون سازی مساله برای رسیدن به جواب است و تجزیه عبارات جبری یکی از مهم ترین ابزارهای ساده سازی مسائل ریاضی است. ضعف در تجزیه عبارات جبری و درک اتحادها، یکی از دلایل اصلی دشوار به نظر رسیدن فصل مثلثات برای خیلی از داوطلبان است، چون بخش بزرگی از فرمول های مثلثاتی چیزی جز همین اتحادها با حرف های سینوس و کسینوس نیستند. در فصل های بعدی، مثل معادله و نامعادله، آن قدر در تمرین ها تجزیه عبارات جبری تکرار می شود که کاملا ملکه ذهن خواهد شد.
گویا کردن مخرج کسر
در ریاضی، ساده کردن محاسبات همیشه هدف اصلی است و نمی توان هیچ عدد گنگی را در مخرج کسرها تحمل کرد. به همین دلیل، هر جا مخرج کسری رادیکالی باشد، باید با روش مناسب مخرج آن را گویا کرد.
وقتی مخرج یک جمله ای رادیکالی باشد (مانند رادیکال دو)، کافی است صورت و مخرج کسر در همان رادیکال ضرب شوند. اما وقتی مخرج دوجمله ای و شامل رادیکال باشد (مانند رادیکال دو منهای یک)، باید از اتحاد مزدوج کمک گرفت: صورت و مخرج در مزدوج مخرج ضرب می شوند تا با استفاده از اتحاد مزدوج، رادیکال از مخرج حذف شود. اگر مخرج شامل رادیکال درجه سه باشد، همین کار با کمک اتحاد چاق و لاغر انجام می شود.
