معادله مثلثاتی

تا این مرحله از آموزش ریاضی کنکور ، انواع معادله ، از معادله چندجمله ای و کسری تا رادیکالی ، قدرمطلقی ، براکتی ، لگاریتمی و نمایی بررسی شده اند . معادله مثلثاتی آخرین نوع معادله ای است که در فصل معادلات کنکور مطرح می شود و برخلاف تصور اولیه بسیاری از داوطلبان ، از نظر ساختار حل ، یکی از ساده ترین انواع معادله به شمار می رود ؛ دشواری اصلی آن نه در خود معادله مثلثاتی ، بلکه در ساده کردن صورت مساله با استفاده از فرمول های مثلثاتی جلسه قبل است .

برای بیان جواب معادله های مثلثاتی ، α زاویه ای برحسب رادیان و k یک عدد صحیح دلخواه در نظر گرفته می شود .

معادله مثلثاتی سینوسی

اگر یک معادله مثلثاتی به فرم sinx = sinα ساده شود ، مجموعه جواب آن روی دایره مثلثاتی به دو دسته تقسیم می شود :

x = ۲kπ + α و x = ۲kπ + π − α

برای نمونه در معادله sinx = sin(π/۶) ، چون α برابر π/۶ است ، مجموعه جواب برابر است با x = ۲kπ + π/۶ یا x = ۲kπ + ۵π/۶ ، یعنی همان زاویه معروف π/۶ و متمم آن نسبت به π .

معادله مثلثاتی کسینوسی

اگر معادله ای به فرم cosx = cosα برسد ، مجموعه جواب آن به صورت زیر خواهد بود :

x = ۲kπ ± α

معادله مثلثاتی تانژانتی

دایره مثلثاتی نشان می دهد که اگر معادله ای به فرم tanx = tanα برسد ، بر خلاف معادله سینوسی و کسینوسی که دو خانواده جواب دارند ، این معادله فقط یک خانواده جواب دارد :

x = kπ + α

معادله مثلثاتی که به فرم درجه دو می رسد

در بخشی از تست های کنکور ، معادله مثلثاتی داده شده در نگاه اول یک معادله درجه دو معمولی به نظر می رسد که به جای x ، یکی از نسبت های مثلثاتی در آن نشسته است . برای حل این نوع معادله ، ابتدا نسبت مثلثاتی موجود در معادله با یک حرف کمکی مانند t جایگزین می شود ، معادله درجه دو بر حسب t حل می شود ، و در آخر برای هر ریشه قابل قبول t ، معادله مثلثاتی ساده شده حل می شود . برای نمونه در معادله ۲sin²x − sinx − ۱ = ۰ ، با جای گذاری t = sinx معادله به شکل ۲t² − t − ۱ = ۰ در می آید که ریشه های آن t = ۱ و t = منفی یک دوم هستند ؛ چون هر دو ریشه در بازه مجاز سینوس ، یعنی بین منفی یک و مثبت یک ، قرار دارند ، هر دو باید بررسی شوند و معادله اصلی به دو معادله سینوسی ساده تر تقسیم می شود .

نکته : برای حل هر معادله مثلثاتی ، باید صورت مساله را با فرمول های مثلثاتی به یکی از سه فرم بالا رساند تا مجموعه جواب مستقیم از روی همین سه فرمول به دست بیاید .

نامعادلات مثلثاتی

حل نامعادله مثلثاتی هم مستقیم از روی دایره مثلثاتی و با بررسی بازه ای که در آن نسبت مورد نظر بزرگتر یا کوچکتر از مقدار مشخصی است انجام می شود ، نه با فرمول جداگانه . برای نمونه در نامعادله sinx بزرگتر یا مساوی یک دوم ، ابتدا زاویه هایی که سینوسشان دقیقا برابر یک دوم است روی دایره مثلثاتی مشخص می شوند ، یعنی π/۶ و ۵π/۶ ؛ سپس با توجه به این که سینوس روی محور yها نمایش داده می شود ، بازه ای از دایره که ارتفاع آن از این دو نقطه بالاتر باشد به عنوان جواب انتخاب می شود ، یعنی بازه بین π/۶ تا ۵π/۶ .

روش تستی حل معادله مثلثاتی

در تست هایی که فقط مجموعه جواب معادله خواسته می شود ، نه تعداد جواب ها ، و گزینه ها هم از نظر ساختار با هم متفاوت اند ، روش تستی جای گذاری صفر به جای k در گزینه ها و رد گزینه های نادرست ، معمولا سریع ترین راه رسیدن به جواب است . تسلط بر این روش تستی به تمرین کافی نیاز دارد تا مشخص شود در کدام تست ها اصلا قابل استفاده است .

جمع بندی فصل مثلثات

با تسلط بر مفهوم مثلثات ، دایره مثلثاتی ، فرمول ها و اتحادهای مثلثاتی ، و در نهایت حل معادله و نامعادله مثلثاتی ، مسیر این فصل از ریاضی کنکور کامل می شود . کاربرد این مفاهیم به همین فصل محدود نمی ماند ؛ بررسی نموداری توابع مثلثاتی در فصل تابع ، و تعیین فاز در مبحث موج و نوسان فیزیک کنکور ، هر دو مستقیما به همین پایه مثلثاتی وابسته اند .