در جلسه قبل مفهوم معادله و ریشه معادله ( جواب معادله ) بررسی شد. در این جلسه معادلات مربوط به دو نوع دیگر از عبارات جبری بررسی می شود، یعنی معادلات کسری و معادلات رادیکالی؛ هر دو نوع، یک ویژگی مشترک دارند: پیش از حل، باید محدودیتی روی جواب ها اعمال شود که در معادله های معمولی وجود ندارد.
معادله کسری
در معادله کسری مهم ترین شرط این است که مخرج کسر نباید صفر شود. پیش از حل مساله، هرآنچه در مخرج کسر است باید مساوی صفر قرار داده شود و جواب های به دست آمده، اعدادی در نظر گرفته شوند که کسر در آن ها بی معنی می شود. به این مجموعه اعداد ممنوعه اصطلاحا دامنه ی عبارت کسری گفته می شود که با حذف کردن ریشه های مخرج از مجموعه اعداد حقیقی به دست می آید. در مورد دامنه و برد تابع، در فصل تابع به طور مفصل توضیح داده خواهد شد.
در مرحله بعد، صورت کسر بدون در نظر گرفتن مخرج مساوی صفر قرار داده می شود و همچون یک معادله کثیرالجمله معمولی حل می شود. در آخرین مرحله، جواب های به دست آمده باید با دامنه چک شوند تا مطمئن شود که در دامنه موجود قرار دارند.
برای نمونه، در کسری با صورت (x منهای دو) و مخرج (x منهای پنج)، نخست باید مخرج مساوی صفر قرار داده شود: x منهای پنج مساوی صفر، یعنی x مساوی پنج از دامنه خارج است. سپس صورت کسر مساوی صفر قرار می گیرد: x منهای دو مساوی صفر، یعنی x مساوی دو. چون دو با پنج برابر نیست، عدد دو در دامنه قرار دارد و به عنوان جواب نهایی پذیرفته می شود.
یک تله ی رایج در تست های کنکور زمانی رخ می دهد که صورت و مخرج کسر ریشه ی مشترک داشته باشند. برای نمونه، در کسری با صورت (x به توان دو منهای چهار) و مخرج (x منهای دو)، دامنه با صفر قرار دادن مخرج به دست می آید: x منهای دو مساوی صفر، یعنی x مساوی دو باید از دامنه کنار گذاشته شود. صورت کسر هم با تجزیه به (x منهای دو) ضرب در (x به علاوه دو) دو ریشه ی دو و منفی دو می دهد؛ اما چون x مساوی دو دقیقا همان نقطه ی ممنوعه ی دامنه است، این ریشه باید حذف شود و تنها x مساوی منفی دو به عنوان جواب باقی می ماند. بسیاری از داوطلبان در این نوع سوال، کسر را ابتدا ساده می کنند و دامنه ی اولیه را فراموش می کنند که همین اشتباه، منبع اصلی از دست دادن امتیاز در این نوع تست هاست.
مثال های بیشتر و نکات تکمیلی در ویدیوی همین قسمت آمده است. توصیه می شود پیش از دیدن این جلسه، در صورت عدم تسلط به تجزیه عبارات جبری، به جلسه مربوط به تجزیه برگشته شود، چون بدون آن، دنبال کردن مثال های این جلسه دشوار خواهد بود.
معادله رادیکالی
اگر فرجه ی رادیکال فرد باشد، حل معادله بدون دردسر و با به توان رساندن دو طرف در همان فرجه انجام می شود، درست مانند یک معادله کثیرالجمله معمولی؛ در ریاضی کنکور معمولا با فرجه های فرد هیچ مشکلی وجود ندارد و مشکل همیشه با فرجه های زوج است.
اما اگر فرجه ی رادیکال زوج باشد، یک شرط دیگر هم به قضیه اضافه می شود: زیر رادیکال با فرجه ی زوج نباید عددی منفی باشد و باید مثبت یا صفر شود. یعنی اگر معادله ای دیده شود که فرجه رادیکالش زوج است، ابتدا زیر رادیکال باید بزرگتر مساوی صفر قرار داده شود و نامعادله ی حاصل حل شود.
برای نمونه، در معادله ی رادیکال با فرجه دو از (x منهای یک) مساوی سه، نخست شرط دامنه نوشته می شود: x منهای یک بزرگتر مساوی صفر، یعنی x بزرگتر مساوی یک. سپس دو طرف معادله به توان دو می رسند: x منهای یک مساوی نه، یعنی x مساوی ده. چون ده در بازه ی مجاز (بزرگتر مساوی یک) قرار دارد، جواب پذیرفته می شود.
محدوده ای که نامعادله ی به دست آمده تعیین می کند، همان محدوده ای است که پس از حل معادله باید جواب های نهایی در آن کنترل شوند؛ اگر جواب هایی خارج از آن محدوده باشند، باید از مجموعه جواب حذف شوند. این نکته یکی از رایج ترین منابع خطای داوطلبان در تست های معادله رادیکالی کنکور است، چون خیلی از داوطلبان فقط دو طرف را به توان می رسانند و از چک کردن شرط دامنه صرف نظر می کنند.
یک مثال کامل، اهمیت این چک نهایی را روشن می کند: در معادله ی رادیکال با فرجه دو از (x به علاوه سه) مساوی (x منهای سه)، نخست شرط لازم نوشته می شود: چون یک طرف تساوی با رادیکال برابر است، طرف دیگر یعنی (x منهای سه) هم باید نامنفی باشد، پس x باید بزرگتر مساوی سه باشد. با به توان دو رساندن دو طرف: x به علاوه سه مساوی x به توان دو منهای شش x به علاوه نه، که پس از ساده سازی به معادله ی x به توان دو منهای هفت x به علاوه شش مساوی صفر می رسد و دو ریشه ی یک و شش به دست می دهد. در آخرین مرحله، هر دو ریشه با شرط اولیه (x بزرگتر مساوی سه) چک می شوند: x مساوی یک این شرط را برآورده نمی کند و باید کنار گذاشته شود، اما x مساوی شش شرط را برآورده می کند و تنها جواب قابل قبول معادله است. این نوع ریشه ی اضافی که فقط در مرحله ی جای گذاری نهایی آشکار می شود، یکی از پرتکرارترین طراحی های تست معادله رادیکالی در کنکور است.
از پیش نیازهای مهم تدریس تابع کنکور این است که محدودیت هایی که تابع کسری و تابع رادیکالی ایجاد می کنند به خوبی جا بیفتد، به همین دلیل همین جلسه اهمیت زیادی دارد.
در جلسات آینده معادله مثلثاتی و معادله لگاریتمی هم بررسی خواهند شد.