تابع یکی از مهم ترین مفاهیم ریاضی کنکور است و پایه نزدیک به پنجاه درصد تست های رشته تجربی و سی و پنج درصد تست های رشته ریاضی به شمار می رود. این جلسه، جلسه بیستم دوره آموزش رایگان ریاضی کنکور است؛ برای داوطلبی که نوزده جلسه قبل، یعنی مباحث ریاضی پایه، را به خوبی یاد گرفته باشد، مباحث این جلسه به بعد ملموس تر و راحت تر خواهند بود. بخش زیادی از مشکل داوطلبان کنکوری در فهم تابع، حد و مشتق، در واقع ریشه در تسلط ناکافی به همان ریاضی پایه دارد.
در ادامه می خوانید
مفهوم تابع
یکی از مهم ترین کاربردهای ریاضی، نمایش و بیان رابطه بین مجموعه هاست و این روابط، رفتارها و متغیرهای مختلفی برای بررسی دارند. برخی روابط قابل پیش بینی و قابل کنترل هستند و برخی دیگر غیر قابل پیش بینی. به رابطه ای که قابل پیش بینی و قابل کنترل باشد، رابطه تابع گفته می شود.
تابع در مفهوم دبیرستانی، رابطه بین دو مجموعه است که در آن، تمام اعضای مجموعه اول حتما با یک عضو از مجموعه دوم رابطه دارند و هیچ عضوی از مجموعه اول نمی تواند با بیش از یک عضو در مجموعه دوم رابطه داشته باشد.
مفهوم تابع، برای تسلط بیشتر و ساده سازی مفاهیم درونی ریاضی، یک قرارداد است، نه یک قانون طبیعی از پیش تعیین شده. تسلط به مباحث پیشین، به ویژه مثلثات، پیش نیاز فهم کامل این جلسه است.
صورت های مختلف نمایش تابع
در کنکور، تابع به شش روش مختلف بیان می شود و در تمام این روش ها، برای رد کردن تابع بودن یا نبودن یک رابطه، معمولا از مثال نقض استفاده می شود.
بیان فارسی تابع
در برخی تست ها، رابطه بین دو مجموعه به زبان فارسی شرح داده می شود و از داوطلب خواسته می شود تشخیص دهد این رابطه تابع است یا نه. برای نمونه، رابطه هر فرد با سن خودش یک تابع است، چون هر فرد دقیقا یک سن دارد؛ اما رابطه هر فرد با اعضای خانواده اش تابع نیست، چون معمولا هر فرد با بیش از یک عضو خانواده در ارتباط است.
نمایش تابع با نمودار پیکانی
در این روش، دو مجموعه رسم می شوند و باید بر اساس پیکان های ترسیم شده مشخص شود که رابطه تابع است یا خیر. اگر از یک عضو مجموعه اول بیش از یک پیکان خارج شده باشد، یا یک عضو از مجموعه اول با هیچ عضوی از مجموعه دوم رابطه نداشته باشد، آن رابطه تابع نیست. همین نمایش پیکانی، در مبحث تابع یک به یک و وارون تابع هم به کار می رود.
نمایش تابع با زوج های مرتب
در برخی تست های کنکور، رابطه با زوج های مرتب تعریف می شود. در این حالت باید دنبال زوج هایی گشت که عضو اول یکسانی دارند؛ اگر عضو دوم آن ها یکسان نباشد، یعنی یک عضو از مجموعه اول با بیش از یک عضو از مجموعه دوم در رابطه است و همین موضوع باعث می شود آن رابطه تابع نباشد.
نمایش تابع در دستگاه مختصات: آزمون خط قائم
وقتی تابع به صورت نقاطی در دستگاه مختصات یا به صورت یک نمودار پیوسته نمایش داده می شود، معیار تشخیص تابع بودن، آزمون خط قائم است: هیچ خط قائمی نباید نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند. اگر رسم یک خط قائم، نمودار را در دو نقطه یا بیشتر قطع کند، رابطه ترسیم شده تابع نیست.
نمایش تابع با فرمول ریاضی
بیشترین سر و کار داوطلب با مفهوم تابع در کنکور، از طریق فرمول ریاضی است. وقتی رابطه ای بین x و y با یک عبارت جبری داده می شود، می توان از روی ظاهر همان عبارت حدس زد که آیا رابطه بر حسب y تابع است یا نه. اگر y با توان زوج در عبارت ظاهر شود، یا داخل قدرمطلق باشد، یا داخل یک کمان مثلثاتی قرار بگیرد، یا در توان عددی دیگر بنشیند، یا داخل لگاریتم باشد، معمولا به ازای یک x می توان بیش از یک مقدار y پیدا کرد و رابطه تابع نخواهد بود. طراحان کنکور معمولا دقیقا از همین نشانه ها برای ساختن گزینه های نادرست استفاده می کنند.
ضابطه تابع
دستورالعمل و فرمولی که از روی آن، مقدار y هر زوج مرتب بر حسب x به دست می آید، ضابطه تابع نام دارد. بیشتر کار داوطلب در ریاضی کنکور، با همین ضابطه تابع است.
ضوابط غیرعادی توابع
در برخی توابع، به جای آنکه ورودی به سادگی همان x باشد، یک عبارت دیگر جایگزین آن می شود؛ برای نمونه f(sinx) که در آن ورودی تابع، به جای x، عبارت sinx است. به این دسته، توابع با ضابطه غیرعادی گفته می شود. این موضوع، در بحث ترکیب توابع به طور کامل بررسی می شود.
تابع چند ضابطه ای
برخی توابع، در بازه های مختلف دامنه، ضابطه های متفاوتی دارند؛ به این توابع، تابع چند ضابطه ای گفته می شود. تابع قدرمطلق، خود نمونه ای از یک تابع دو ضابطه ای است: برای x کوچک تر از صفر برابر با منفی x، و برای x بزرگ تر یا مساوی صفر برابر با خود x تعریف می شود.
تابع خطی
توابع درجه یک، توابع خطی هستند و دقیقا مانند معادله خط با آن ها رفتار می شود؛ ضریب x در ضابطه، نقش شیب خط را دارد و عدد ثابت، عرض از مبدأ آن را نشان می دهد.
تابع چند ضابطه ای خطی
وقتی یک تابع چند ضابطه ای باشد و تمام ضوابط آن هم توابع خطی باشند، به آن تابع چند ضابطه ای خطی گفته می شود. این نوع تابع، یکی از الگوهای پرتکرار در طراحی سوالات تابع یک به یک کنکور هم هست.
چند تابع معروف: ثابت، همانی و قدرمطلق
تابع ثابت، تابع همانی و تابع قدرمطلق از معروف ترین توابعی هستند که باید کاملا شناخته شوند. تابع ثابت، برای هر ورودی، همیشه یک خروجی یکسان تولید می کند. تابع همانی، خروجی اش دقیقا برابر همان ورودی است، یعنی به ازای هر x، خروجی هم برابر همان x است. تابع قدرمطلق، همان طور که در بخش تابع چند ضابطه ای اشاره شد، نموداری به شکل حرف V دارد.
جلسه بعدی دوره، به دامنه و برد تابع اختصاص دارد که از مفاهیم پرکاربرد و پرتکرار ریاضی کنکور است.