یکی از روش های پرتکرار طراحی سوال در ریاضی کنکور، استفاده از روابط بین ریشه های معادله درجه دو است، بدون آن که نیاز باشد ریشه ها را مستقیم و کامل محاسبه کرد. جمع، ضرب و تفاضل ریشه های معادله درجه دو، روابط ساده ای هستند که طراح کنکور از آن ها زیاد استفاده می کند.
این روابط از روی اتحاد جمله مشترک ساخته می شوند و مستقیما از روی ضریب های معادله، بدون حل کامل آن، قابل محاسبه اند. همچنین می توان مستقیما از جواب های به دست آمده از روش دلتا هم در محاسبه ی جمع، ضرب و تفاضل ریشه ها کمک گرفت. برای مثال معادله x به توان دو منهای پنج x به علاوه شش مساوی صفر را در نظر بگیریم، معادله ای که در جلسه قبل با روش دلتا حل شد و ریشه های آن دو و سه به دست آمدند؛ در ادامه همین معادله برای بررسی هر یک از این روابط استفاده می شود.
در ادامه می خوانید
جمع ریشه های معادله درجه دو
بدون نیاز به محاسبه ریشه ها، جمع ریشه های یک معادله درجه دو از قرینه ی تقسیم ضریب درجه یک بر ضریب درجه دو به دست می آید. در معادله x به توان دو منهای پنج x به علاوه شش مساوی صفر، ضریب درجه یک منفی پنج و ضریب درجه دو یک است؛ قرینه ی تقسیم این دو عدد برابر پنج می شود که دقیقا با جمع ریشه های دو و سه یکی است.
ضرب ریشه های معادله درجه دو
ضرب ریشه های معادله درجه دو از تقسیم عدد ثابت معادله بر ضریب درجه دو به دست می آید. در همان معادله، عدد ثابت شش و ضریب درجه دو یک است؛ تقسیم این دو برابر شش می شود که با ضرب ریشه های دو و سه یکی است.
قدر مطلق تفاضل ریشه های معادله درجه دو
این مقدار کاربرد کمتری نسبت به جمع و ضرب ریشه ها دارد، اما دانستن فرمولش کمک کننده است: قدر مطلق حاصل تقسیم رادیکال دلتا بر ضریب درجه دو، در واقع فاصله بین دو ریشه را نشان می دهد. در همان معادله، دلتا برابر یک بود؛ رادیکال یک هم یک است و تقسیم آن بر ضریب درجه دو (که برابر یک است) باز هم یک می شود، درست به اندازه ی فاصله ی بین ریشه های دو و سه.
بازی با روابط ریشه های معادله درجه دو
با تسلط کامل به اتحادهای جبری، بازی با روابط بین ریشه های معادله درجه دو کار ساده ای می شود. یکی از پرکاربردترین این بازی ها، محاسبه ی جمع مجذور ریشه ها بدون حل مستقیم معادله است: جمع مجذور ریشه ها برابر است با مجذور جمع ریشه ها منهای دو برابر ضرب ریشه ها. در معادله ی مثال بالا، مجذور جمع ریشه ها (پنج به توان دو) برابر بیست و پنج است و دو برابر ضرب ریشه ها هم برابر دوازده است؛ تفاضل این دو، سیزده می شود که دقیقا با جمع مجذورات دو و سه (چهار به علاوه نه) یکی است.
رابطه ی دیگری که طراح کنکور به آن علاقه دارد، جمع معکوس ریشه هاست: یک تقسیم بر ریشه اول به علاوه یک تقسیم بر ریشه دوم، برابر است با جمع ریشه ها تقسیم بر ضرب ریشه ها. در معادله ی مثال بالا، این مقدار برابر پنج تقسیم بر شش می شود، بدون آن که نیاز باشد ریشه ها به طور جداگانه محاسبه یا با هم جمع شوند. طراح معمولا همین نوع عبارت های ترکیبی را طرح می کند تا داوطلبی که مستقیم سراغ محاسبه ی ریشه ها می رود، وقت بیشتری صرف کند.
نوشتن معادله درجه دو با داشتن ریشه ها
با داشتن جمع و ضرب ریشه های معادله درجه دو، می توان معادله را بر اساس اتحاد جمله مشترک به سادگی بازسازی کرد: x به توان دو منهای (جمع ریشه ها) ضرب در x به علاوه (ضرب ریشه ها) مساوی صفر. برای ریشه های دو و سه، جمع برابر پنج و ضرب برابر شش است، پس معادله به صورت x به توان دو منهای پنج x به علاوه شش مساوی صفر بازسازی می شود؛ یعنی دقیقا همان معادله ی ابتدای بحث.
اکسترمم تابع درجه دو
در فصل تابع، وقتی عبارت درجه دو به شکل تابع بررسی و بحث مشتق هم مطالعه شود، مختصات نقطه اکسترمم تابع درجه دو قابل محاسبه است: x این نقطه برابر است با منهای ضریب درجه یک تقسیم بر دو برابر ضریب درجه دو. نکته ی جالب این است که وقتی معادله ریشه های حقیقی داشته باشد، این x دقیقا میانگین دو ریشه است؛ برای معادله ی مثال بالا، میانگین ریشه های دو و سه برابر دو و نیم می شود که همان مختصات x نقطه اکسترمم است.
