لگاریتم و تابع نمایی

لگاریتم یکی از عملگرهای مهم و پرکاربرد ریاضی است که تقریبا هر ساله در کنکور به آن اختصاص داده می شود. عبارت نمایی هم از مهم ترین مباحث ریاضی است که نسبت به لگاریتم ساده تر است؛ بدون حل تعداد کافی تست، تسلط واقعی روی این دو مبحث به دست نمی آید.

لگاریتم در فصل تراز شدت صوت فیزیک، برای محاسبه ی بل و دسی بل به کار می رود و در فصل اسید و باز شیمی، برای محاسبه PH استفاده می شود. بسیاری از داوطلبان کنکور این بحث را دشوار می دانند، اما با نگاه درست، لگاریتم و تابع نمایی مبحث ساده ای هستند.

لگاریتم درک از مسائل طبیعت را بسیار ساده می کند و عملگر ریاضی مهمی در مطالعه طبیعت است. در جلسه بعدی، علاوه بر کاربردهایی که در شیمی و فیزیک شناخته شده اند، کاربرد لگاریتم در زلزله شناسی هم بررسی خواهد شد؛ کاربرد عبارت نمایی در زیست شناسی هم در همان جلسه دیده خواهد شد.

یادآوری روابط توان ها

پیش از ورود به بحث لگاریتم و عبارت نمایی، یادآوری کوتاهی از روابط توان ها که در جلسات اول ریاضی کنکور توضیح داده شده لازم است: ضرب دو توان هم پایه برابر است با همان پایه به توان جمع آن دو توان، و اگر یک توان روی توان دیگری قرار بگیرد، حاصل برابر است با همان پایه به توان ضرب آن دو توان. این دو رابطه، مبنای بسیاری از ساده سازی های لگاریتمی و نمایی هستند.

مفهوم تابع نمایی

به عبارتی که متغیر (مثلا x) در توان دیده شود، عبارت نمایی گفته می شود. برای نمونه در عبارت دو به توان x، هر بار که x یک واحد افزایش پیدا کند، مقدار عبارت دو برابر می شود؛ همین رشد تصاعدی، عبارت نمایی را در مطالعه طبیعت و زیست شناسی بسیار پرکاربرد کرده است.

مفهوم لگاریتم

مقدار لگاریتم x در پایه y برابر است با توانی که اگر به y داده شود، برابر با x می شود. برای نمونه لگاریتم هشت در پایه دو برابر سه است، چون دو به توان سه برابر هشت می شود. لگاریتم مفهومی ساده در ریاضی کنکور است که به راحتی می توان تست آن را حل کرد.

یک نکته ی مهم که در حل معادله و نامعادله لگاریتمی همیشه باید رعایت شود، شرط تعریف لگاریتم است: لگاریتم x در پایه y فقط زمانی معنا دارد که x مثبت باشد، و پایه y هم مثبت و متفاوت از یک باشد. در واقع نه لگاریتم عدد صفر یا منفی تعریف شده است، نه لگاریتم در پایه ی صفر، منفی یا یک. این شرط ساده، در جلسه بعدی که معادله و نامعادله لگاریتمی بررسی می شود، نقش کلیدی در حذف جواب های نادرست دارد.

دو پایه در کتاب های درسی و در کنکور بیشتر از بقیه به کار می روند. وقتی پایه ی لگاریتم نوشته نشود، طبق قرارداد کتاب درسی معمولا پایه ده در نظر گرفته می شود که به آن لگاریتم عشری می گویند؛ لگاریتمی هم که پایه اش عدد نپر یا همان e باشد، لگاریتم طبیعی نام دارد. شناخت این دو قرارداد، در خواندن صورت سوالات کنکور که گاهی پایه را ننوشته اند کمک زیادی می کند.

قوانین لگاریتم

لگاریتم قوانینی دارد که همان طور که در تصویر دیده می شود باید حفظ شوند: لگاریتم ضرب دو عدد برابر است با جمع لگاریتم آن دو عدد در همان پایه، و لگاریتم توان یک عدد برابر است با همان توان ضرب در لگاریتم آن عدد. از این قوانین در فیزیک و شیمی هم استفاده می شود.

بلد بودن اتحادهای جبری در حل سوالات لگاریتم بسیار مهم و حیاتی است.

نمودار لگاریتم

تابع لگاریتمی و تابع نمایی معکوس یکدیگر هستند، به همین دلیل نمودار آن ها نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه ی هم است. جزئیات کامل نمودار تابع لگاریتمی در فصل تابع بررسی خواهد شد.

نمودار نمایی

در تدریس تابع کنکور و دیدگاه نموداری، نمودار تابع نمایی هم به طور مفصل بررسی خواهد شد. یک نکته ی ساده اما پرکاربرد این است که نمودار هر تابع نمایی با پایه ی مثبت و متفاوت از یک، همیشه از نقطه ای با x صفر و y یک عبور می کند، چون هر عددی به توان صفر برابر یک است؛ همین نقطه ی مشترک، تشخیص سریع نمودار توابع نمایی در تست های کنکور را ساده تر می کند. در جلسه بعدی، در مورد معادله و نامعادله لگاریتمی و نمایی صحبت خواهد شد که عمدتا سوالات این بحث در همین دو قالب مطرح می شوند.