دامنه تابع و برد تابع

دامنه و برد تابع از مباحثی است که برای بسیاری از داوطلبان در برخورد اول نامفهوم به نظر می رسد؛ اما با تمرین کافی و نگاه نموداری درست، به یکی از قابل پیش بینی ترین بخش های ریاضی کنکور تبدیل می شود. درک عمیق دیدگاه نموداری تابع، پیش نیاز اصلی فهم کامل این جلسه است.

دامنه تابع

دامنه تابع، مجموعه همه مقادیر x است که وارد کردن آن ها در ضابطه تابع مجاز است و خروجی معتبری تولید می کند.

تست های این بخش هم به صورت شکل، نماد، نمودار پیکانی و زوج مرتب می آیند و هم به صورت ضابطه تابع.

برد تابع

برد تابع، مجموعه همه مقادیر y است که به ازای اعضای دامنه تابع، از آن خارج می شوند.

تست های برد تابع هم مانند دامنه تابع، هم با شکل و نماد و نمودار پیکانی و زوج مرتب می آیند و هم با ضابطه تابع.

محدودیت های محاسبه دامنه تابع از روی ضابطه

چهار محدودیت کلی برای یافتن دامنه تابع از روی ضابطه آن وجود دارد؛ خارج از این چهار حالت، دامنه تابع کل مجموعه اعداد حقیقی خواهد بود.

مخرج کسر نباید صفر شود

اگر ضابطه تابع کسری باشد، هر مقداری از x که مخرج را صفر کند باید از دامنه تابع حذف شود، چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

زیر رادیکال با فرجه زوج نباید منفی شود

اگر ضابطه تابع شامل رادیکال با فرجه زوج باشد، مثل جذر، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد، چون ریشه زوج یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است.

عبارت داخل لگاریتم باید مثبت باشد و پایه لگاریتم نباید یک شود

عبارت داخل لگاریتم باید بزرگ تر از صفر باشد و پایه لگاریتم هم باید مثبت و مخالف عدد یک باشد؛ این محدودیت، همان محدودیتی است که در بحث معادله و نامعادله لگاریتمی هم کاربرد دارد.

دامنه توابع تانژانت و کوتانژانت محدودیت خاص دارد

تانژانت هر زاویه ای که کسینوس آن صفر شود تعریف نشده است و کوتانژانت هر زاویه ای که سینوس آن صفر شود تعریف نشده است؛ همین محدودیت، در بحث دایره مثلثاتی و فرمول های مثلثات هم به تفصیل بررسی می شود.

چرا نباید ضابطه تابع را پیش از بررسی دامنه ساده کرد

نکته مهم در مبحث تابع این است که ساده کردن ضابطه، پیش از بررسی دامنه، مجاز نیست. برای نمونه، عبارت x به توان دو منهای یک، تقسیم بر x منهای یک، پس از ساده سازی جبری برابر با x به علاوه یک می شود؛ اما تابع اول، به دلیل صفر شدن مخرج در x برابر یک، این مقدار را در دامنه خود ندارد، در حالی که تابع ساده شده چنین محدودیتی ندارد. همین اختلاف در دامنه، دو ضابطه را از نظر ریاضی دو تابع متفاوت می کند، هرچند از نظر ظاهری شبیه به هم به نظر برسند.

روش های محاسبه برد تابع: شش تیپ رایج در کنکور

برد تابع، در سطح ریاضی دبیرستان و کنکور، مبحثی نسبتا محدود است که با شناخت شش تیپ زیر، بیشتر تست های مربوط به آن قابل حل می شوند.

برد تابع چند جمله ای با درجه فرد

برد توابع چند جمله ای با درجه فرد، همیشه کل مجموعه اعداد حقیقی است؛ همین توابع، در بحث وارون تابع هم توابعی وارون پذیر خواهند بود.

برد تابع درجه دو

برای یافتن برد تابع درجه دو، باید عرض اکسترمم آن، یعنی مقدار y در نقطه قله یا دره نمودار، محاسبه شود. اگر ضریب جمله درجه دو مثبت باشد، برد تابع از همان عرض اکسترمم تا بی نهایت مثبت است؛ اگر این ضریب منفی باشد، برد تابع از منفی بی نهایت تا همان عرض اکسترمم خواهد بود.

برد تابع هموگرافیک

محدودیت برد تابع هموگرافیک، روی عرض مجانب افقی آن است؛ این عرض، از تقسیم ضریب x در صورت کسر بر ضریب x در مخرج کسر به دست می آید و برد تابع، همه اعداد حقیقی به جز همین مقدار خواهد بود.

برد توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس

محدوده خروجی توابع سینوس و کسینوس، همیشه بین منفی یک و مثبت یک است؛ این محدودیت، در بحث نمودارشناسی تابع به طور کامل بررسی می شود.

برد تابع نامنفی به علاوه یک عدد ثابت

وقتی بخشی از ضابطه تابع، مثل یک قدرمطلق یا یک توان زوج، همیشه نامنفی است و به یک عدد ثابت اضافه می شود، کمترین مقدار همان بخش نامنفی برابر صفر است؛ بنابراین کمترین مقدار کل تابع، همان عدد ثابت خواهد بود و برد تابع، از همان عدد ثابت تا بی نهایت مثبت را در بر می گیرد.

برد تابع کسری با صورت و مخرج درجه دو

برای این تیپ از توابع، روش رایج این است که ابتدا عبارت تابع برابر y قرار داده شود و پس از ضرب طرفین در مخرج، یک معادله درجه دو بر حسب x به دست می آید؛ برای آنکه این معادله جواب حقیقی داشته باشد، دلتای آن باید نامنفی باشد. حل همین نامعادله دلتا، محدوده مقادیر مجاز y، یعنی برد تابع، را مشخص می کند.

دو مثال زیر، همین روش را برای برد تابع کسری با صورت و مخرج درجه دو روشن تر نشان می دهد.

محاسبه برد تابع از روی دامنه محدودشده

در برخی مسائل، دامنه تابع از پیش به یک بازه مشخص محدود شده است. در این حالت، با بررسی رفتار افزایشی یا کاهشی تابع در همان بازه و اعمال آن بر روی دو سر بازه، می توان برد تابع را ساخت؛ این روش، یکی از الگوهای پرتکرار در طراحی سوالات کنکور است.

تساوی دو تابع

بحث تساوی دو تابع، یکی از مقدمه های مهم مبحث حد است که از پرکاربردترین مباحث ریاضی کنکور به شمار می رود.

دو تابع، تنها با برقراری دو شرط زیر با هم برابرند:

• دامنه یکسانی داشته باشند.
• ضابطه آن ها، پس از ساده سازی، برای هر عضو مشترک دامنه مقدار یکسانی تولید کند.

همان طور که پیش تر گفته شد، ساده کردن ضابطه تابع پیش از بررسی دامنه مجاز نیست، چون همین ساده سازی می تواند دامنه تابع را تغییر دهد. به همین دلیل، ترتیب درست بررسی این است که ابتدا دامنه دو تابع مقایسه شود و تنها در صورت برابر بودن دامنه ها، نوبت به مقایسه ضابطه ساده شده آن ها برسد.

جلسه بعدی دوره، به تابع یک به یک و وارون تابع می پردازد که مستقیما بر پایه همین مفاهیم دامنه و برد بنا می شود.