تابع یک به یک و وارون تابع

تابع یک به یک و وارون تابع، از مباحث بسیار تست خیز ریاضی کنکور است و کمتر سالی پیش می آید که دست کم یک تست کنکور مستقیم از همین مبحث طراحی نشده باشد. حل مسائل این بخش، به تسلط داوطلب در حل معادله و به دست آوردن جواب نامعادلات وابسته است؛ خبر خوب این است که برخلاف نظام قدیم، در نظام جدید معمولا خبری از درگیر شدن این مبحث با مثلثات نیست.

تابع یک به یک

تابع یک به یک، تابعی است که در آن، هر دو عضو متفاوت در دامنه تابع، حتما به دو عضو متفاوت در برد تابع نسبت داده می شوند.

تابع یک به یک، زیرمجموعه ای از مبحث تابع کنکور است که تمام مفاهیم خود تابع، حد و مشتق و دیدگاه نموداری را در بر می گیرد. بیشتر سوالات این مبحث، در ترکیب با بحث وارون تابع مطرح می شوند و معمولا ساختاری دارند که با یک روش تستی مشخص قابل حل هستند.

حالت های بررسی تابع یک به یک، به شرح زیر است.

تابع یک به یک در نمودار پیکانی

اگر از هیچ عضوی بیش از یک پیکان خارج نشده باشد، به هیچ عضوی هم بیش از یک پیکان وارد نشده باشد و هیچ عضوی در دو مجموعه بدون پیکان نمانده باشد، تابع یک به یک است.

تابع یک به یک در زوج های مرتب

در این حالت باید دنبال زوج هایی گشت که مقدار y یکسان اما مقدار x متفاوت دارند؛ وجود چنین زوج هایی نشان می دهد تابع یک به یک نیست.

بررسی تابع یک به یک در نمودار تابع: آزمون خط افقی

اگر با رسم یک خط افقی، نمودار تابع در بیش از یک نقطه قطع شود، آن تابع یک به یک نیست؛ این معیار، به آزمون خط افقی معروف است.

بررسی یک به یک بودن توابع چند ضابطه ای

این بررسی در دو مرحله انجام می شود؛ طراح کنکور معمولا در طرح این تیپ سوال دست باز زیادی ندارد و بیشتر از توابع چند ضابطه ای خطی استفاده می کند.

• مرحله یک: هر یک از ضوابط، به تنهایی یک به یک باشند.
• مرحله دو: برد ضوابط مختلف، با یکدیگر اشتراک نداشته باشند.

دلیل شرط دوم این است که حتی اگر هر ضابطه به تنهایی یک به یک باشد، اشتراک در برد دو ضابطه می تواند باعث شود دو ورودی متفاوت از دو بازه مختلف، خروجی یکسانی تولید کنند و همین موضوع، تابع کلی را از یک به یک بودن خارج می کند.

یک به یک کردن توابع غیر یک به یک با محدود کردن دامنه

در بازه های خاصی از دامنه، می توان تابعی را که در کل دامنه اش یک به یک نیست، یک به یک کرد؛ نمونه شناخته شده آن، تابع درجه دو است که در کل دامنه یک به یک نیست، اما با محدود کردن دامنه آن به یک طرف نقطه اکسترمم، همان تابع در آن بازه محدود، یک به یک می شود. نگاه نموداری خوب به تابع، در تشخیص سریع این حالت کمک زیادی می کند.

توابع یک به یک معروف

چهار تابع یک به یک معروف، به دلیل رفتار یکنواخت خود در کل دامنه، برای طرح مثال در ذهن نگه داشته می شوند: لگاریتم یک عبارت خطی، تابع نمایی، رادیکال یک عبارت خطی و تابع هموگرافیک. وجه مشترک همه این توابع این است که در کل دامنه خود، یا همواره صعودی هستند یا همواره نزولی؛ همین یکنواختی رفتار، تضمین می کند که هیچ دو ورودی متفاوتی خروجی یکسان تولید نکنند.

توابع غیر یک به یک معروف

در مقابل، جزء صحیح یک عبارت خطی، تابع درجه دو، توابع مثلثاتی و قدرمطلق یک عبارت خطی، از توابع غیر یک به یک معروف هستند؛ این توابع به کار بردن آن ها برای مثال در حل تست های کنکور بسیار مفید است. دلیل غیر یک به یک بودن هر یک از آن ها متفاوت است: جزء صحیح روی هر بازه مقدار ثابتی دارد، تابع درجه دو حول نقطه اکسترمم خود متقارن است، توابع مثلثاتی تناوبی هستند و تابع قدرمطلق هم حول رأس خود متقارن است.

وارون تابع (معکوس تابع)

اگر در یک تابع، جای مجموعه دامنه، یعنی x ها، با مجموعه برد، یعنی y ها، عوض شود، تابع تازه ای به دست می آید که آن را تابع وارون یا معکوس می نامند.

نتیجه مهمی که از همین تعریف به دست می آید این است: دامنه تابع اصلی، برابر با برد تابع وارون آن است و برد تابع اصلی، برابر با دامنه تابع وارون آن است.

نمودار و نمایش تابع وارون

تابع وارون در حالت های زیر بررسی می شود.

نمودار پیکانی وارون تابع

در این حالت، جای دو مجموعه با هم عوض می شود، اما شکل پیکان ها همان شکلی می ماند که در تابع اصلی داشتند.

زوج های مرتب وارون تابع

در صورت یک به یک بودن تابع اصلی، برای یافتن زوج های مرتب تابع وارون، فقط جای x و y در هر زوج مرتب عوض می شود.

نمودار وارون تابع: تقارن نسبت به خط y برابر x

این حالت، سوال خیزترین حالت وارون تابع است. وقتی نمودار یک تابع نسبت به نیمساز ربع اول و سوم، یعنی همان نمودار تابع همانی که با معادله y برابر x نمایش داده می شود، قرینه شود، نمودار تابع وارون آن به دست می آید.

وارون پذیری توابع

اگر تابعی یک به یک نباشد، پس از عوض شدن جای x و y، رابطه به دست آمده دیگر یک تابع نیست، چون آزمون خط قائم را نمی گذراند؛ به همین دلیل، فقط توابع یک به یک را وارون پذیر می نامند. تابع یک به یک، پس از عوض شدن جای x و y، همچنان یک تابع باقی می ماند.

روش یافتن ضابطه تابع وارون

برای یافتن ضابطه تابع وارون، ابتدا ضابطه تابع اصلی برابر y قرار داده می شود؛ سپس با استفاده از عملیات جبری و اتحادهای جبری، x در یک طرف عبارت تنها می شود تا عبارتی بر حسب y به دست آید. در گام آخر، جای x و y در همین عبارت با هم عوض می شود تا ضابطه تابع وارون به دست آید.

وارون کردن توابع وارون ناپذیر

برای وارون کردن تابعی که در کل دامنه اش یک به یک نیست، همان روش محدود کردن دامنه که پیش تر توضیح داده شد به کار می رود؛ با محدود کردن دامنه تابع به بازه ای که در آن یک به یک است، می توان تابع وارون آن را روی همان بازه محدود پیدا کرد.

وارون کردن توابع چند ضابطه ای

توابع چند ضابطه ای، که معمولا به صورت خطی هم داده می شوند، با طی دو مرحله زیر وارون می شوند.

• هر ضابطه، جداگانه و به روش معمول وارون شود.
• برد هر ضابطه محاسبه و به عنوان دامنه همان ضابطه وارون شده در نظر گرفته شود.

از آنجا که بررسی یک به یک بودن تابع چند ضابطه ای، ناسازگار نبودن برد ضوابط مختلف را هم تضمین می کند، دامنه های به دست آمده برای ضوابط وارون شده، همپوشانی نخواهند داشت.

نکته تستی برای حل سریع سوالات تابع وارون

یک نکته عملی برای بررسی سریع درستی یک تابع وارون به دست آمده، این است که ترکیب تابع اصلی با وارون خودش، همیشه باید تابع همانی نتیجه دهد؛ یعنی اگر ابتدا یک مقدار در تابع وارون قرار داده شود و نتیجه آن دوباره در تابع اصلی جای گذاری شود، باید همان مقدار اولیه به دست آید. همین رابطه، در جلسه بعدی دوره، هنگام بررسی ترکیب یک تابع با وارون خودش، دوباره به کار می آید و درک آن، به حل سریع تر تست های تابع وارون کمک زیادی می کند.